Teorema de Naimark

El teorema de Naimark es una afirmación fundamental sobre las mediciones. Establece que cualquier medición general puede implementarse de una forma sencilla que recuerda a las representaciones de Stinespring de los canales:

1. El sistema a medir se combina primero con un sistema auxiliar inicializado, creando un sistema compuesto.
2. Luego se aplica una operación unitaria al sistema compuesto.
3. Finalmente, el sistema auxiliar se mide mediante una medición en la base estándar, lo que proporciona el resultado de la medición general original.

Enunciado del teorema y demostración

Sea $\mathsf{X}$ un sistema y $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ una colección de matrices positivas semidefinidas que satisfacen

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

lo cual indica que describen una medición de $\mathsf{X}$. Sea ademas $\mathsf{Y}$ un sistema cuyo conjunto de estados clásicos es $\{0,\ldots,m-1\}$, es decir, el conjunto de posibles resultados de medición.

El teorema de Naimark establece que existe una operación unitaria $U$ sobre el sistema compuesto $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ tal que la implementación que sugiere la siguiente figura produce resultados de medición que coinciden con la medición dada $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ — es decir, las probabilidades de los distintos resultados posibles de medición coinciden exactamente.

Para aclarar: el sistema $\mathsf{X}$ comienza en un estado arbitrario $\rho,$ mientras que $\mathsf{Y}$ se inicializa en el estado $\vert 0\rangle$. La operación unitaria $U$ se aplica a $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$, y luego el sistema $\mathsf{Y}$ se mide con una medición en la base estándar, produciendo un resultado $a\in\{0,\ldots,m-1\}$.

El sistema $\mathsf{X}$ se muestra como parte de la salida del circuito, pero por ahora no nos preocupa el estado de $\mathsf{X}$ después de la ejecución de $U$, y podemos imaginar que se traza sobre el. Sin embargo, más adelante en la lección nos interesará el estado de $\mathsf{X}$ después de la ejecución de $U$.

Tal implementación de una medición recuerda obviamente a una representación de Stinespring de un canal, y las bases matemáticas son similares. La diferencia es que el sistema auxiliar aquí se mide, en lugar de trazarse sobre el como en el caso de una representación de Stinespring.

El hecho de que cualquier medición pueda implementarse de esta manera es bastante sencillo de demostrar, pero primero necesitamos una afirmación sobre matrices positivas semidefinidas.

Hecho

Sea $P$ una matriz positiva semidefinida $n \times n$. Existe una única matriz positiva semidefinida $n\times n$ $Q$ para la cual $Q^2 = P$. Esta única matriz positiva semidefinida se denomina la raíz cuadrada de $P$ y se denota $\sqrt{P}$.

Una forma de encontrar la raíz cuadrada de una matriz positiva semidefinida es calcular primero una descomposición espectral.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Dado que $P$ es positiva semidefinida, sus valores propios deben ser números reales no negativos, y reemplazándolos por sus raíces cuadradas obtenemos una expresión para la raíz cuadrada de $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Con este concepto, estamos listos para demostrar el teorema de Naimark. Bajo la suposición de que $\mathsf{X}$ tiene $n$ estados clásicos, una operación unitaria $U$ sobre el par $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ puede representarse mediante una matriz $nm\times nm$, que podemos considerar como una matriz de bloques $m\times m$ cuyos bloques son de tamaño $n\times n$. La clave de la demostración es elegir $U$ como cualquier matriz unitaria que siga el siguiente patrón.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Para que sea posible rellenar los bloques marcados con signos de interrogación de modo que $U$ sea unitaria, es necesario y suficiente que las primeras $n$ columnas, formadas por los bloques $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}}$, sean ortonormales. Entonces podemos usar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para completar las columnas restantes, exactamente como en la lección anterior.

Las primeras $n$ columnas de $U$ pueden expresarse como vectores de la siguiente forma, donde $c = 0,\ldots,n-1$ denota el número de columna empezando desde $0$.

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Podemos calcular el producto interno entre cualesquiera dos de estos vectores como sigue.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Esto muestra que estas columnas son efectivamente ortonormales, de modo que podemos completar las columnas restantes de $U$ para que la matriz completa sea unitaria.

Queda comprobar que las probabilidades de los resultados de medición de la simulación son consistentes con la medición original. Para un estado inicial dado $\rho$ de $\mathsf{X}$, la medición descrita por la colección $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ produce cada resultado $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ con probabilidad $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Para obtener las probabilidades de los resultados de la simulación, llamemos primero $\sigma$ al estado de $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ después de la ejecución de $U$. Este estado puede expresarse como sigue.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

De forma equivalente, tenemos en forma de matriz de bloques la siguiente ecuación.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Observa que las entradas de $U$ que caen en los bloques marcados con signos de interrogación no influyen en el resultado, ya que estamos conjugando una matriz de la forma $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — las entradas con signos de interrogación siempre se multiplican por entradas nulas de $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ al calcular el producto matricial.

Ahora podemos analizar qué sucede cuando se realiza una medición en la base estándar sobre $\mathsf{Y}$. Las probabilidades de los resultados posibles están dadas por las entradas diagonales del estado reducido $\sigma_{\mathsf{Y}}$ de $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

Usando la propiedad cíclica de la traza, vemos en particular que la probabilidad de obtener un resultado dado $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ es la siguiente.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Esto coincide con la medición original y confirma la corrección de la simulación.

Mediciones no destructivas

Hasta ahora en la lección nos hemos ocupado de mediciones destructivas, en las que la salida consiste únicamente en el resultado clásico de medición y no se hace ninguna especificación sobre el estado cuántico del sistema medido después de la medición.

Las mediciones no destructivas, en cambio, hacen exactamente eso. Concretamente, las mediciones no destructivas describen no solo las probabilidades de los resultados clásicos de medición, sino también el estado del sistema medido, condicionado a cada resultado posible de medición. Observa que el término no destructiva se refiere al sistema que se mide, no necesariamente a su estado, que podría cambiar considerablemente como resultado de la medición.

En general, para una medición destructiva dada, existen varias (de hecho infinitas) mediciones no destructivas que son compatibles con la medición destructiva dada, es decir, en las que las probabilidades de los resultados clásicos de medición coinciden exactamente con la medición destructiva. Por tanto, no existe una forma única de definir el estado cuántico de un sistema después de una medición.

De hecho, es posible generalizar las mediciones no destructivas aun más, de modo que produzcan un resultado clásico de medición junto con un estado cuántico de salida de un sistema que no es necesariamente el mismo que el sistema de entrada.

El concepto de medición no destructiva es una abstracción interesante y útil. Sin embargo, debe reconocerse que las mediciones no destructivas siempre pueden describirse como composiciones de canales y mediciones destructivas — en este sentido, el concepto de medición destructiva es el más fundamental.

A partir del teorema de Naimark

Consideremos la simulación de una medición general como en el teorema de Naimark. Una forma sencilla de obtener una medición no destructiva a partir de está simulación se revela en la figura anterior, en la que el sistema $\mathsf{X}$ no se traza sobre el, sino que forma parte de la salida. Esto proporciona tanto un resultado clásico de medición $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ como un estado cuántico de $\mathsf{X}$ después de la medición.

Describamos estos estados en términos matemáticos. Suponemos que el estado inicial de $\mathsf{X}$ es $\rho$, de modo que tras introducir el sistema inicializado $\mathsf{Y}$ y ejecutar $U$, el sistema $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ se encuentra en el estado

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Las probabilidades de los distintos resultados clásicos son las mismas que antes — no pueden cambiar porque hayamos decidido ignorar o no ignorar $\mathsf{X}$. Es decir, obtenemos cada $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ con probabilidad $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Condicionado a un resultado de medición particular $a$, el estado resultante de $\mathsf{X}$ viene dado por esta expresión.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Una forma de ver esto es representar una medición en la base estándar de $\mathsf{Y}$ mediante el canal completamente defasante $\Delta_m$, donde la salida del canal describe los resultados clásicos de medición como matrices de densidad (diagonales). Una expresión del estado que obtenemos es la siguiente.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Entonces podemos escribir este estado como una combinación convexa de estados producto,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

lo cual es consistente con la expresión que obtuvimos para el estado de $\mathsf{X}$ condicionado a cada resultado posible de medición.

A partir de una representación de Kraus

Existen elecciones alternativas para $U$ en el contexto del teorema de Naimark que producen las mismas probabilidades de resultados de medición pero estados de salida de $\mathsf{X}$ completamente diferentes.

Una opción es, por ejemplo, sustituir $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ por $U$, donde $V$ es una operación unitaria arbitraria sobre $\mathsf{X}$. La aplicación de $V$ a $\mathsf{X}$ conmuta con la medición de $\mathsf{Y}$, de modo que las probabilidades de los resultados clásicos no cambian. Ahora el estado de $\mathsf{X}$ condicionado al resultado $a$ será

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Más en general, podríamos reemplazar $U$ por la matriz unitaria

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

para una elección arbitraria de operaciones unitarias $V_0,\ldots,V_{m-1}$ sobre $\mathsf{X}$. De nuevo, las probabilidades de los resultados clásicos no cambian, pero ahora el estado de $\mathsf{X}$ condicionado al resultado $a$ será

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Una forma equivalente de expresar esta libertad está relacionada con las representaciones de Kraus. Es decir, podemos describir una medición no destructiva con $m$ resultados de un sistema con $n$ estados clásicos mediante una elección de matrices de Kraus $n\times n$ $A_0,\ldots,A_{m-1}$ que satisfacen la condición tipica para matrices de Kraus.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Suponiendo que el estado inicial de $\mathsf{X}$ es $\rho$, el resultado clásico de medición es $a$ con probabilidad

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

y condicionado al resultado $a$, el estado de $\mathsf{X}$ será

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Observa que esto es equivalente a elegir la operación unitaria $U$ en el teorema de Naimark como sigue.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

En la lección anterior observamos que las columnas formadas por los bloques $A_0,\ldots,A_{m-1}$ son necesariamente ortogonales, debido a la condición $(1).$

Generalizaciones

Existen formas aun más generales de formular mediciones no destructivas que las discutidas. El concepto de un instrumento cuántico (que no se describe aquí) representa una de tales posibilidades.