Discriminación y tomografía de estados cuánticos

En la última parte de la lección consideramos brevemente dos tareas relacionadas con las mediciones: discriminación de estados cuánticos y tomografía de estados cuánticos.

1. Discriminación de estados cuánticos

   En la discriminación de estados cuánticos, tenemos una colección conocida de estados cuánticos $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ junto con probabilidades $p_0,\ldots,p_{m-1},$ asignadas a estos estados. Una forma concisa de expresar esto es decir que tenemos un ensamble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   de estados cuánticos.

   Un número $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ se elige aleatoriamente según las probabilidades $(p_0,\ldots,p_{m-1})$, y el sistema $\mathsf{X}$ se prepara en el estado $\rho_a$. El objetivo es determinar, mediante una medición de $\mathsf{X}$ solamente, qué valor de $a$ fue elegido.

   Tenemos por tanto un número finito de alternativas junto con un prior — nuestro conocimiento sobre la probabilidad con la que cada $a$ es seleccionado — y el objetivo es determinar qué alternativa ocurrió realmente. Esto puede ser fácil para algunas elecciones de estados y probabilidades, y para otras puede no ser posible sin cierta probabilidad de error.

2. Tomografía de estados cuánticos

   En la tomografía de estados cuánticos, tenemos un estado cuántico desconocido de un sistema — a diferencia de la discriminación de estados cuánticos, típicamente no hay prior ni información sobre posibles alternativas.

   Sin embargo, esta vez no se proporciona una sola copia del estado, sino muchas copias independientes. Es decir, $N$ sistemas idénticos $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ se preparan cada uno independientemente en el estado $\rho$ para un número (posiblemente grande) $N$. El objetivo es encontrar una aproximación del estado desconocido como matriz de densidad, midiendo los sistemas.

Discriminación entre dos estados

El caso más simple de discriminación de estados cuánticos es aquel en el que se deben discriminar dos estados, $\rho_0$ y $\rho_1$.

Imagina una situación en la que un bit $a$ se elige aleatoriamente: $a = 0$ con probabilidad $p$ y $a = 1$ con probabilidad $1 - p.$ Un sistema $\mathsf{X}$ se prepara en el estado $\rho_a$, es decir $\rho_0$ o $\rho_1$ dependiendo del valor de $a,$ y se nos entrega. Nuestro objetivo es determinar correctamente el valor de $a$ mediante una medición sobre $\mathsf{X}$. Concretamente, queremos maximizar la probabilidad de que nuestra estimación sea correcta.

Una medición óptima

Un método óptimo para resolver este problema comienza con una descomposición espectral de una diferencia ponderada entre $\rho_0$ y $\rho_1,$ donde los pesos son las probabilidades correspondientes.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Observa que en esta expresión hay un signo menos en lugar de un signo más: es una diferencia ponderada, no una suma ponderada.

Podemos maximizar la probabilidad de una estimación correcta eligiendo una medición proyectiva $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ como sigue. Primero, dividimos los elementos de $\{0,\ldots,n-1\}$ en dos conjuntos disjuntos $S_0$ y $S_1$, según si el valor propio correspondiente de la diferencia ponderada es no negativo o negativo.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Entonces podemos elegir una medición proyectiva como sigue.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{y}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(En realidad no importa en cuál conjunto $S_0$ o $S_1$ incluimos los valores de $k$ para los cuales $\lambda_k = 0$. Aquí elegimos arbitrariamente incluir esos valores en $S_0$.)

Esta es una medición óptima para la situación en cuestión, que minimiza la probabilidad de una determinación incorrecta del estado elegido.

Probabilidad de acierto

Ahora determinemos la probabilidad de acierto para la medición $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

En primer lugar, no necesitamos preocuparnos realmente por la elección específica de $\Pi_0$ y $\Pi_1$, aunque puede ser útil tenerla en mente. Para cualquier medición $\{P_0,P_1\}$ (no necesariamente proyectiva), podemos escribir la probabilidad de acierto como sigue.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Usando el hecho de que $\{P_0,P_1\}$ es una medición, de modo que $P_1 = \mathbb{I} - P_0$, podemos reescribir esta expresión como sigue.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Por otro lado, podríamos haber realizado la sustitución $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ en su lugar. Esto no cambiaría el valor, pero nos da una expresión alternativa.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Las dos expresiones tienen el mismo valor, por lo que podemos promediarlas para obtener otra expresión más para este valor. (Promediar las dos expresiones es simplemente un truco para simplificar la expresión resultante.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Ahora vemos por qué tiene sentido elegir las proyecciones $\Pi_0$ y $\Pi_1$ (como se indicó arriba) para $P_0$ y $P_1$ — porque esa es la forma de hacer la traza en la última expresión lo más grande posible. En particular, se tiene

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Así que al tomar la traza, obtenemos la suma de los valores absolutos de los valores propios — que es igual a la llamada norma traza de la diferencia ponderada.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

La probabilidad de que la medición $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ conduzca a una discriminación correcta de $\rho_0$ y $\rho_1$, dados con probabilidades $p$ y $1-p,$ es por tanto la siguiente.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

El hecho de que esta es la probabilidad óptima para una discriminación correcta de $\rho_0$ y $\rho_1,$ dados con probabilidades $p$ y $1-p,$ se conoce comúnmente como el teorema de Helstrom-Holevo (a veces también solo como el teorema de Helstrom).

Discriminación de tres o más estados

En la discriminación de estados cuánticos con tres o más estados, no se conoce una solución en forma cerrada para una medición óptima, aunque es posible formular el problema como un programa semidefinido — lo que permite aproximaciones numéricas eficientes de mediciones óptimas con la ayuda de un ordenador.

También es posible verificar (o falsificar) la optimalidad de una medición dada en una tarea de discriminación de estados mediante una condición conocida como la condición de Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. Concretamente, para la tarea de discriminación de estados definida por el ensamble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

la medición $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ es óptima si y solo si la matriz

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

es positiva semidefinida para cada $a\in\{0,\ldots,m-1\}$.

Consideremos, por ejemplo, la tarea de discriminación de estados cuánticos en la que uno de los cuatro estados tetraédricos $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ se selecciona uniformemente al azar. La medición tetraédrica $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ tiene éxito con probabilidad

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Esto es óptimo según la condición de Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, ya que un cálculo muestra que

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

para $a = 0,1,2,3$.

Tomografía de estados cuánticos

Para concluir, discutimos brevemente el problema de la tomografía de estados cuánticos. En este problema, se nos da un gran número $N$ de copias independientes de un estado cuántico desconocido $\rho$, y el objetivo es reconstruir una aproximación $\tilde{\rho}$ de $\rho$. Para ser claros: esto significa que queremos encontrar una descripción clásica de una matriz de densidad $\tilde{\rho}$ que sea lo más cercana posible a $\rho$.

También podemos describir la situación inicial de la siguiente manera. Se elige una matriz de densidad desconocida $\rho$, y se nos proporcionan $N$ sistemas cuánticos $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$, cada uno preparado independientemente en el estado $\rho$. El estado del sistema compuesto $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ es por tanto

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ veces)}$$

El objetivo es realizar mediciones sobre los sistemas $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ y, a partir de los resultados de medición, calcular una matriz de densidad $\tilde{\rho}$ que se aproxime a $\rho$. Este es un problema fascinante sobre el que se realiza investigación activa.

Pueden considerarse diferentes tipos de estrategias para abordar el problema. Podemos imaginar, por ejemplo, una estrategia en la que cada uno de los sistemas $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ se mide por separado y secuencialmente, produciendo una secuencia de resultados de medición. Pueden hacerse diferentes elecciones específicas para las mediciones a realizar, incluyendo elecciones adaptativas y no adaptativas. En otras palabras: la elección de qué medición realizar sobre un sistema dado puede depender o no de los resultados de mediciones anteriores. A partir de la secuencia de resultados de medición, se deduce una estimación $\tilde{\rho}$ del estado $\rho$ — y también aquí existen diferentes metodologías.

Un enfoque alternativo es realizar una única medición conjunta de toda la colección, en la que consideramos $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ como un único sistema y elegimos una sola medición cuya salida es una estimación $\tilde{\rho}$ del estado $\rho$. Esto puede conducir a una estimación mejorada en comparación con lo que es posible midiendo los sistemas individualmente por separado, aunque una medición conjunta de todos los sistemas es probablemente mucho más difícil de implementar.

Tomografía de qubit con mediciones de Pauli

Consideremos ahora la tomografía de estados cuánticos en el caso simple en que $\rho$ es una matriz de densidad de qubit. Suponemos que se nos dan qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ que se encuentran cada uno independientemente en el estado $\rho$, y nuestro objetivo es calcular una aproximación $\tilde{\rho}$ cercana a $\rho$.

Nuestra estrategia consiste en dividir los $N$ qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ en tres grupos de tamaño aproximadamente igual, uno para cada una de las tres matrices de Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y$ y $\sigma_z.$ Cada qubit se mide entonces independientemente como sigue.

1. Para cada uno de los qubits del grupo asignado a $\sigma_x$, realizamos una medición $\sigma_x$. Esto significa que el qubit se mide en la base $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\}$, que es una base ortonormal de vectores propios de $\sigma_x$, y los resultados de medición correspondientes son los valores propios de los dos vectores propios: $+1$ para el estado $\vert + \rangle$ y $-1$ para el estado $\vert -\rangle.$ Promediando los resultados sobre todos los estados del grupo $\sigma_x$, obtenemos una aproximación del valor esperado

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Para cada uno de los qubits del grupo asignado a $\sigma_y$, realizamos una medición $\sigma_y$. Dicha medición es similar a una medición $\sigma_x$, excepto que la base de medición es $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$, que son vectores propios de $\sigma_y.$ Promediando los resultados sobre todos los estados del grupo $\sigma_y$, obtenemos una aproximación del valor esperado

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Para cada uno de los qubits del grupo asignado a $\sigma_z$, realizamos una medición $\sigma_z$. Esta vez la base de medición es la base estándar $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ que son vectores propios de $\sigma_z.$ Promediando los resultados sobre todos los estados del grupo $\sigma_z$, obtenemos una aproximación del valor esperado

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Una vez que hemos obtenido aproximaciones

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

promediando los resultados de medición para cada grupo, podemos aproximar $\rho$ como

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

En el limite, cuando $N$ tiende a infinito, está aproximación converge en probabilidad a la verdadera matriz de densidad $\rho$ por la ley de los grandes números, y cotas estadísticas conocidas (como la desigualdad de Hoeffding) pueden usarse para acotar la probabilidad de que la aproximación $\tilde{\rho}$ se desvíe de $\rho$ en diversas cantidades.

Un punto importante, sin embargo, es que la matriz $\tilde{\rho}$ obtenida de esta manera puede no ser una matriz de densidad. Aunque siempre tiene traza igual a $1$, puede no ser positiva semidefinida. Existen varias estrategias conocidas para "redondear" dicha aproximación $\tilde{\rho}$ a una matriz de densidad, una de ellas es calcular una descomposición espectral, reemplazar los valores propios negativos por $0$ y luego renormalizar (dividiendo la matriz obtenida por su traza).

Tomografía de qubit con la medición tetraédrica

Otra opción para la tomografía de qubit es medir cada qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ con la medición tetraédrica $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ descrita anteriormente. Es decir,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

para

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Cada resultado se obtiene un cierto número de veces, que denotamos $n_a$ para cada $a\in\{0,1,2,3\}$, de modo que $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ La proporción de estos números respecto a $N$ proporciona una estimación de la probabilidad asociada a cada resultado posible:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Finalmente, usamos la siguiente fórmula notable:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Para derivar esta fórmula, podemos usar la siguiente ecuación para los módulos al cuadrado de los productos internos de los estados tetraédricos, que puede verificarse por cálculo directo.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Las cuatro matrices

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

son linealmente independientes, por lo que basta demostrar que la fórmula es verdadera cuando $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ para $b = 0,1,2,3$. En particular, se tiene

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

y por tanto

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Obtenemos una aproximación de $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Esta aproximación es siempre una matriz hermítica con traza igual a uno, pero puede no ser positiva semidefinida. En ese caso, la aproximación debe "redondearse" a una matriz de densidad, de forma similar a la estrategia con mediciones de Pauli.