Sistemas múltiples y estados reducidos

Ahora nos dirigimos a la cuestión de cómo funcionan las matrices de densidad para sistemas múltiples — incluyendo ejemplos de diferentes tipos de correlaciones que pueden expresar, y cómo pueden usarse para describir los estados de partes aisladas de sistemas compuestos.

Sistemas múltiples

Las matrices de densidad pueden representar estados de sistemas múltiples de manera análoga a los vectores de estado en la formulación simplificada de la información cuántica, donde se aplica la misma idea básica: sistemas múltiples pueden considerarse como si fueran un único sistema compuesto. Matemáticamente, las filas y columnas de las matrices de densidad que representan estados de sistemas múltiples corresponden al producto cartesiano de los conjuntos de estados clásicos de los sistemas individuales.

Recordemos, por ejemplo, las representaciones como vectores de estado de los cuatro estados de Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Las representaciones como matrices de densidad de estos estados son las siguientes.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Estados producto

De manera similar a los vectores de estado, los productos tensoriales de matrices de densidad representan independencia entre los estados de sistemas múltiples. Si, por ejemplo, $\mathsf{X}$ se prepara en el estado dado por la matriz de densidad $\rho$ e $\mathsf{Y}$ se prepara independientemente en el estado $\sigma,$ entonces la matriz de densidad que describe el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ es el producto tensorial $\rho\otimes\sigma.$

Se utiliza la misma terminología que en la formulación simplificada de la información cuántica: los estados de esta forma se denominan estados producto.

Estados correlacionados y entrelazados

Los estados que no pueden expresarse como estados producto representan correlaciones entre sistemas. De hecho, existen diferentes tipos de correlaciones que pueden representarse mediante matrices de densidad. Aquí hay algunos ejemplos.

1. Estados clásicos correlacionados. Por ejemplo, podemos expresar la situación en la que Alice y Bob comparten un bit aleatorio de la siguiente manera:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ensambles de estados cuánticos. Supongamos que tenemos $m$ matrices de densidad $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ todas representando estados de un sistema $\mathsf{X},$ y elegimos uno de estos estados aleatoriamente según un vector de probabilidad $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Un proceso así se representa mediante un ensamble de estados, que incluye la especificación de las matrices de densidad $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ así como las probabilidades $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Podemos asociar a un ensamble de estados una única matriz de densidad que describe tanto la elección aleatoria de $k$ como la correspondiente matriz de densidad $\rho_k,$ de la siguiente manera:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Para ser claros: este es el estado de un par $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ donde $\mathsf{Y}$ representa la selección clásica de $k$ — por lo que asumimos que su conjunto de estados clásicos es $\{0,\ldots,m-1\}.$ Los estados de esta forma se denominan a veces estados clásico-cuánticos.

3. Estados separables. Podemos imaginar situaciones en las que tenemos una correlación clásica entre los estados cuánticos de dos sistemas:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Dicho de otra forma: para cada $k$ de $0$ a $m-1,$ con probabilidad $p_k,$ el sistema izquierdo está en el estado $\rho_k$ y el sistema derecho en el estado $\sigma_k.$ Los estados de esta forma se denominan estados separables. Este concepto también se extiende a más de dos sistemas.

4. Estados entrelazados. No todos los estados de pares de sistemas son separables. En la formulación general de la información cuántica, el entrelazamiento se define exactamente de esta manera: los estados que no son separables se denominan entrelazados.

   Esta terminología es consistente con la del curso "Fundamentos de la información cuántica". Allí dijimos que los vectores de estado cuántico que no son estados producto representan estados entrelazados — y de hecho, para cualquier vector de estado cuántico $\vert\psi\rangle$ que no sea un estado producto, el estado representado por la matriz de densidad $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ no es separable. Sin embargo, para estados que no son puros, el entrelazamiento es considerablemente más complicado.

Estados reducidos y la traza parcial

En el contexto de sistemas múltiples, hay una operación simple pero importante que podemos realizar con matrices de densidad: describir los estados que obtenemos cuando ignoramos algunos de los sistemas. Cuando varios sistemas se encuentran juntos en un estado cuántico y descartamos o ignoramos uno o más sistemas, el estado de los sistemas restantes se denomina el estado reducido de esos sistemas. Las descripciones como matrices de densidad de los estados reducidos pueden obtenerse fácilmente a partir de la matriz de densidad del sistema completo mediante una aplicación conocida como la traza parcial.

Ejemplo: estados reducidos para un e-bit

Supongamos que tenemos un par de qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ que se encuentran juntos en el estado

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle$$

Imaginemos que Alice posee el qubit $\mathsf{A}$ y Bob posee el qubit $\mathsf{B}$ — juntos comparten un e-bit. Queremos obtener una descripción como matriz de densidad del qubit $\mathsf{A}$ de Alice en aislamiento, como si Bob hubiera decidido tomar su qubit y viajar a las estrellas para nunca más ser visto.

Pensemos primero en lo que pasaría si Bob decidiera, en algún punto de su viaje, medir su qubit en una medición de base estándar. Si lo hiciera, obtendría el resultado $0$ con probabilidad

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

donde el estado del qubit de Alice se convierte en $\vert 0\rangle$; y obtendría el resultado $1$ con probabilidad

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

donde el estado del qubit de Alice se convierte en $\vert 1\rangle.$

Si ignoramos el resultado de la medición de Bob y nos concentramos en el qubit de Alice, concluimos que ella obtiene el estado $\vert 0\rangle$ con probabilidad $1/2$ y el estado $\vert 1\rangle$ con probabilidad $1/2.$ Esto nos lleva a describir el estado del qubit de Alice en aislamiento mediante la matriz de densidad

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}$$

Es decir, el qubit de Alice se encuentra en el estado completamente mezclado. Para ser claros: esta descripción del estado del qubit de Alice no incluye el resultado de la medición de Bob; ignoramos a Bob por completo.

Puede parecer que la descripción como matriz de densidad del qubit de Alice en aislamiento obtenida depende de la suposición de que Bob midió su qubit, pero en realidad no es así. Lo que hicimos fue usar la posibilidad de que Bob mida su qubit para argumentar que el estado completamente mezclado surge como estado del qubit de Alice, basándonos en lo que ya habíamos aprendido. Por supuesto, nada dice que Bob deba medir su qubit — pero tampoco nada dice que no lo haga. Y si está a años luz de distancia, nada de lo que haga o deje de hacer puede afectar posiblemente al estado del qubit de Alice en aislamiento. Es decir, la descripción que obtuvimos para el estado del qubit de Alice es la única descripción compatible con la imposibilidad de la comunicación superlumínica.

También podemos considerar el estado del qubit $\mathsf{B}$ de Bob, que igualmente es el estado completamente mezclado. Para los cuatro estados de Bell, el estado reducido tanto del qubit de Alice como del de Bob es el estado completamente mezclado.

Estados reducidos para un vector de estado cuántico general

Generalicemos ahora el ejemplo que acabamos de discutir a dos sistemas arbitrarios $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B},$ que no necesariamente son qubits en el estado $\vert \phi^+\rangle.$ Asumimos que los conjuntos de estados clásicos de $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$ son $\Sigma$ y $\Gamma$ respectivamente. Una matriz de densidad $\rho$ que representa un estado del sistema combinado $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ tiene, por tanto, índices de fila y columna que corresponden al producto cartesiano $\Sigma\times\Gamma.$

Supongamos que el estado de $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se describe por el vector de estado cuántico $\vert\psi\rangle,$ de modo que la matriz de densidad que describe este estado es $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Determinamos una descripción como matriz de densidad del estado de $\mathsf{A}$ en aislamiento, que habitualmente se denota $\rho_{\mathsf{A}}.$ (A veces se usa un superíndice en lugar de un subíndice.)

El vector de estado $\vert\psi\rangle$ puede expresarse en la forma

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

para una colección de vectores $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ unívocamente determinada. Estos vectores pueden determinarse, en particular, mediante una fórmula sencilla.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

De manera análoga al ejemplo anterior del e-bit: si midiéramos el sistema $\mathsf{B}$ con una medición de base estándar, obtendríamos cada resultado $b\in\Gamma$ con probabilidad $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ y el estado de $\mathsf{A}$ se convertiría entonces en

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Como matriz de densidad, este estado puede escribirse de la siguiente manera.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Promediando los diferentes estados según las probabilidades de los respectivos resultados, llegamos a la matriz de densidad

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

La traza parcial

La fórmula

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

nos lleva a la descripción del estado reducido de $\mathsf{A}$ para cualquier matriz de densidad $\rho$ del par $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ no solo para un estado puro.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Esta fórmula debe cumplirse, simplemente por linealidad junto con el hecho de que toda matriz de densidad puede escribirse como combinación convexa de estados puros.

La operación que se realiza sobre $\rho$ para obtener $\rho_{\mathsf{A}}$ se denomina traza parcial, y más concretamente decimos que la traza parcial se realiza sobre $\mathsf{B}$ o que $\mathsf{B}$ se traza fuera. Esta operación se denota $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ de modo que podemos escribir

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

También podemos definir la traza parcial sobre $\mathsf{A},$ de modo que el sistema $\mathsf{A}$ se traza fuera en lugar de $\mathsf{B},$ de la siguiente manera.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Esto nos da la descripción como matriz de densidad $\rho_{\mathsf{B}}$ del estado de $\mathsf{B}$ en aislamiento en lugar de $\mathsf{A}.$

En resumen: si $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ es un par de sistemas cualquiera y tenemos una matriz de densidad $\rho$ que describe un estado de $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ los estados reducidos de los sistemas $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$ son los siguientes.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Si $\rho$ es una matriz de densidad, $\rho_{\mathsf{A}}$ y $\rho_{\mathsf{B}}$ son necesariamente también matrices de densidad.

Estos conceptos se generalizan de manera natural a un número arbitrario de sistemas en lugar de dos. En general, podemos indicar los nombres de cualesquiera sistemas en el subindice de una matriz de densidad $\rho$ para describir el estado reducido de exactamente esos sistemas. Si $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ y $\mathsf{C}$ son, por ejemplo, sistemas y $\rho$ es una matriz de densidad que describe un estado de $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ entonces podemos definir:

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

y de forma correspondiente para otras selecciones de sistemas.

Descripción alternativa de la traza parcial

Una forma alternativa de describir las aplicaciones de traza parcial $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ y $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ es que son las únicas aplicaciones lineales que satisfacen las fórmulas

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M \end{aligned}$$

En estas fórmulas, $N$ y $M$ son matrices cuadradas de tamaño adecuado: las filas y columnas de $M$ corresponden a los estados clásicos de $\mathsf{A}$ y las filas y columnas de $N$ corresponden a los estados clásicos de $\mathsf{B}.$

Esta caracterización de la traza parcial no solo es fundamental desde un punto de vista matemático, sino que también permite cálculos rápidos en algunas situaciones. Consideremos, por ejemplo, el siguiente estado de un par de qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Para calcular el estado reducido $\rho_{\mathsf{A}},$ podemos usar la linealidad junto con el hecho de que $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ y $\vert +\rangle\langle +\vert$ tienen traza unitaria.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

El estado reducido $\rho_{\mathsf{B}}$ se calcula de manera similar.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

La traza parcial para dos qubits

La traza parcial también puede describirse explícitamente en términos de matrices. Lo hacemos aquí solo para dos qubits, pero esto puede generalizarse a sistemas más grandes. Supongamos que tenemos dos qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ de modo que cualquier matriz de densidad que describa un estado de estos dos qubits puede escribirse como

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

para una elección de números complejos $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

La traza parcial sobre el primer sistema tiene la siguiente fórmula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Una forma de entender esta fórmula es considerar las matrices $4\times 4$ como matrices de bloques $2\times 2,$ donde cada bloque es $2\times 2.$ Es decir,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

para

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Entonces

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Aquí está la fórmula cuando se traza fuera el segundo sistema en lugar del primero.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

En términos de matrices de bloques de forma similar a la anterior, se tiene la siguiente fórmula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Las descripciones en términos de matrices de bloques de estas funciones se generalizan de manera natural y directa a sistemas más grandes que qubits.

Para concluir la lección, aplicamos estas fórmulas al mismo estado que consideramos antes.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

El estado reducido del primer sistema $\mathsf{A}$ es

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

y el estado reducido del segundo sistema $\mathsf{B}$ es

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$