Esfera de Bloch

Existe una representación geométrica útil de los estados de qubit conocida como la esfera de Bloch. Es muy práctica, pero lamentablemente solo funciona para qubits -- la representación análoga ya no corresponde a un objeto esférico una vez que nuestro sistema tiene tres o más estados clásicos.

Estados de qubit como puntos en una esfera

Comencemos considerando un vector de estado cuántico de un qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Podemos restringir nuestra atención a vectores en los que $\alpha$ es un número real no negativo, porque todo vector de estado de qubit es equivalente, salvo una fase global, a un vector para el cual $\alpha \geq 0.$ Esto nos permite escribir

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

para dos números reales $\theta \in [0,\pi]$ y $\phi\in[0,2\pi).$ Aquí dejamos que $\theta$ varíe de $0$ a $\pi$ y dividimos por $2$ en el argumento del seno y coseno, ya que esta es una forma convencional de parametrizar vectores de este tipo, lo cual simplifica las cosas un poco más adelante.

Ahora bien, los números $\theta$ y $\phi$ no están exactamente determinados de forma única por un vector de estado cuántico $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ dado, pero casi. En particular, si $\beta = 0,$ entonces $\theta = 0,$ y no importa que valor tome $\phi$, por lo que puede elegirse arbitrariamente. De igual manera, si $\alpha = 0,$ entonces $\theta = \pi,$ y nuevamente $\phi$ es irrelevante (ya que nuestro estado es equivalente a $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ salvo una fase global para cualquier $\phi$). Sin embargo, si ni $\alpha$ ni $\beta$ son cero, entonces hay una elección única del par $(\theta,\phi)$ para el cual $\vert\psi\rangle$ es equivalente a $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ salvo una fase global.

Consideremos ahora la representación como matriz de densidad de este estado.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Podemos utilizar algunas identidades trigonométricas,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

así como la fórmula $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ para simplificar la matriz de densidad de la siguiente manera.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Esto facilita expresar esta matriz de densidad como combinación lineal de las matrices de Pauli:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Concretamente, obtenemos

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Los coeficientes de $\sigma_x,$ $\sigma_y$ y $\sigma_z$ en el numerador de esta expresión son todos números reales, por lo que podemos agruparlos en un vector en un espacio euclidiano tridimensional ordinario.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

De hecho, este es un vector unitario. En coordenadas esféricas puede escribirse como $(1,\theta,\phi).$ La primera coordenada, $1,$ representa el radio o distancia radial (que en este caso siempre es $1$), $\theta$ representa el ángulo polar y $\phi$ el ángulo azimutal.

Si imaginamos la esfera como la Tierra, el ángulo polar $\theta$ es la rotación hacia el sur desde el polo norte para llegar al punto descrito, de $0$ a $\pi = 180°,$ mientras que el ángulo azimutal $\phi$ indica la rotación hacia el este desde el meridiano de referencia, de $0$ a $2\pi = 360°.$ El meridiano de referencia se define como la curva sobre la superficie de la esfera que va de un polo al otro a lo largo del eje $x$ positivo.

Cada punto de la esfera puede describirse de esta manera -- lo que significa que los puntos que obtenemos al variar sobre todos los estados puros posibles de un qubit corresponden exactamente a una esfera en 3 dimensiones reales. (Esta esfera se denomina habitualmente la 2-esfera unitaria, ya que la superficie de esta esfera es bidimensional.)

Cuando asociamos puntos en la 2-esfera unitaria con estados puros de qubits, obtenemos la representación de la esfera de Bloch de estos estados.

Seis ejemplos importantes

1. La base estándar $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Comencemos con el estado $\vert 0\rangle.$ Como matriz de densidad, puede escribirse así.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Recogiendo los coeficientes de las matrices de Pauli en el numerador, vemos que el punto correspondiente en la 2-esfera unitaria en coordenadas cartesianas es $(0,0,1).$ En coordenadas esféricas, este punto es $(1,0,\phi),$ donde $\phi$ puede ser cualquier ángulo. Esto es consistente con la expresión

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   que también es válida para cualquier $\phi.$ Intuitivamente: el angulo polar $\theta$ es cero, así que estamos en el polo norte de la esfera de Bloch, donde el angulo azimutal es irrelevante.

   Correspondientemente, la matriz de densidad para el estado $\vert 1\rangle$ puede escribirse así.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Esta vez las coordenadas cartesianas son $(0,0,-1).$ En coordenadas esfericas, este punto es $(1,\pi,\phi),$ donde $\phi$ puede ser cualquier angulo. En este caso el angulo polar es exactamente $\pi,$ así que estamos en el polo sur, donde el angulo azimutal es nuevamente irrelevante.

2. La base $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ Para las matrices de densidad de estos estados se cumplen las siguientes expresiones.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Los puntos correspondientes en la 2-esfera unitaria tienen coordenadas cartesianas $(1,0,0)$ y $(-1,0,0),$ y coordenadas esfericas $(1,\pi/2,0)$ y $(1,\pi/2,\pi)$ respectivamente.

   En otras palabras: $\vert +\rangle$ corresponde al punto donde el eje $x$ positivo intersecta la 2-esfera unitaria, y $\vert -\rangle$ corresponde al punto donde el eje $x$ negativo la intersecta. Dicho de forma más intuitiva: $\vert +\rangle$ se encuentra en el ecuador de la esfera de Bloch, donde este intersecta el meridiano de referencia, y $\vert - \rangle$ se encuentra en el ecuador en el lado opuesto de la esfera.

3. La base $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Como vimos al comienzo de la lección, estos dos estados se definen de la siguiente manera:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Esta vez obtenemos las siguientes expresiones.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Los puntos correspondientes en la 2-esfera unitaria tienen coordenadas cartesianas $(0,1,0)$ y $(0,-1,0),$ y coordenadas esfericas $(1,\pi/2,\pi/2)$ y $(1,\pi/2,3\pi/2)$ respectivamente.

   En otras palabras: $\vert {+i} \rangle$ corresponde al punto donde el eje $y$ positivo intersecta la 2-esfera unitaria, y $\vert {-i} \rangle$ al punto donde el eje $y$ negativo la intersecta.

Aquí hay otra clase de vectores de estado cuántico que aparece repetidamente a lo largo de esta serie, incluyendo anteriormente en esta lección.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(para $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

La representación como matriz de densidad de cada uno de estos estados es la siguiente.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

La siguiente figura ilustra los puntos correspondientes en la esfera de Bloch para algunas elecciones de $\alpha.$

Combinaciones convexas de puntos

De manera similar a lo discutido para las matrices de densidad, podemos formar combinaciones convexas de puntos en la esfera de Bloch para obtener representaciones de matrices de densidad de qubit. En general, esto produce puntos dentro de la esfera de Bloch, que representan matrices de densidad de estados que no son puros. A veces se habla de la bola de Bloch cuando se desea indicar explícitamente que también se incluyen puntos en el interior de la esfera de Bloch como representaciones de matrices de densidad de qubit.

Por ejemplo, hemos visto que la matriz de densidad $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ que representa el estado completamente mezclado de un qubit, puede escribirse de estas dos formas alternativas:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{y}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Ademas, se cumple que

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

y más generalmente podemos utilizar cualesquiera dos vectores de estado de qubit ortogonales (que siempre corresponden a dos puntos antipodales en la esfera de Bloch). Si promediamos los puntos correspondientes en la esfera de Bloch de manera similar, obtenemos el mismo punto, que en este caso se encuentra en el centro de la esfera. Esto es consistente con la observación de que

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

lo que nos da las coordenadas cartesianas $(0,0,0).$

Otro ejemplo de combinaciones convexas de puntos de la esfera de Bloch es el discutido en el apartado anterior.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

La siguiente figura ilustra estas dos formas distintas de obtener esta matriz de densidad como combinación convexa de estados puros.