Fundamentos de las matrices de densidad

Comenzamos describiendo las matrices de densidad en términos matemáticos y luego consideramos algunos ejemplos. Después discutimos algunos aspectos fundamentales de cómo funcionan las matrices de densidad y su relación con los vectores de estado cuántico en la formulación simplificada de la información cuántica.

Definición

Supongamos que tenemos un sistema cuántico llamado $\mathsf{X}$, y $\Sigma$ es el conjunto (finito y no vacío) de estados clásicos de este sistema. Aquí utilizamos las convenciones de nomenclatura del curso "Fundamentos de la información cuántica", que mantendremos siempre que se presente la oportunidad.

En la formulación general de la información cuántica, un estado cuántico del sistema $\mathsf{X}$ se describe mediante una matriz de densidad $\rho$ cuyos elementos son números complejos y cuyos índices (tanto de filas como de columnas) se han puesto en correspondencia con el conjunto de estados clásicos $\Sigma$. La letra griega minúscula $\rho$ es la primera opción habitual para nombrar una matriz de densidad, aunque $\sigma$ y $\xi$ también son comunes.

Aquí hay algunos ejemplos de matrices de densidad que describen estados de qubits:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{y}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Decir que $\rho$ es una matriz de densidad significa que estas dos condiciones, que se explican a continuación, se satisfacen ambas:

1. Traza igual a 1: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$

2. Semidefinitud positiva: $\rho \geq 0.$

La traza de una matriz

La primera condición sobre las matrices de densidad se refiere a la traza de una matriz. Esta es una función definida para todas las matrices cuadradas como la suma de los elementos diagonales:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

La traza es una función lineal: para cualesquiera dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño y dos números complejos $\alpha$ y $\beta$, siempre se cumple la siguiente ecuación.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

La traza es una función extremadamente importante, y hay mucho más que decir sobre ella -- sin embargo, pospondremos eso para el momento en que sea necesario.

Matrices semidefinidas positivas

La segunda condición se refiere a la propiedad de una matriz de ser semidefinida positiva, que es un concepto fundamental en la teoría de la información cuántica y muchas otras áreas. Una matriz $P$ es semidefinida positiva si existe una matriz $M$ tal que

$$P = M^{\dagger} M.$$

Aquí podemos requerir que $M$ sea una matriz cuadrada del mismo tamaño que $P$, o permitir que sea no cuadrada -- en ambos casos obtenemos la misma clase de matrices.

Existen varias formas alternativas (pero equivalentes) de definir esta condición, entre ellas:

• Una matriz $P$ es semidefinida positiva si y solo si $P$ es hermitiana (es decir, igual a su propia traspuesta conjugada) y todos sus valores propios son números reales no negativos. Verificar si una matriz es hermitiana y si todos sus valores propios son no negativos es un método computacional sencillo para verificar la semidefinitud positiva.

• Una matriz $P$ es semidefinida positiva si y solo si $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ para todo vector complejo $\vert\psi\rangle$ que tenga los mismos índices que las filas y columnas de $P$.

Una forma intuitiva de pensar en las matrices semidefinidas positivas es considerarlas como análogos matriciales de los números reales no negativos. Es decir, las matrices semidefinidas positivas son a las matrices cuadradas complejas lo que los números reales no negativos son a los números complejos. Por ejemplo, un número complejo $\alpha$ es un número real no negativo si y solo si

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

para algún número complejo $\beta$, lo cual corresponde a la definición de semidefinitud positiva cuando reemplazamos matrices por escalares. Aunque las matrices son en general objetos más complicados que los escalares, esta sigue siendo una forma útil de pensar en las matrices semidefinidas positivas.

Esto también explica la notación habitual $P\geq 0$, que indica que $P$ es semidefinida positiva. Nótese en particular que $P\geq 0$ en este contexto no significa que cada elemento de $P$ sea no negativo; existen matrices semidefinidas positivas con elementos negativos, así como matrices cuyos elementos son todos positivos pero que no son semidefinidas positivas.

Interpretación de las matrices de densidad

En este punto, la definición de matrices de densidad puede parecer bastante arbitraria y abstracta, ya que aún no hemos asignado significado a estas matrices o a sus elementos. Cómo funcionan las matrices de densidad y cómo se interpretan se aclarará a lo largo de la lección, pero por ahora puede ser útil pensar en los elementos de las matrices de densidad de la siguiente manera (algo informal).

• Los elementos diagonales de una matriz de densidad nos dan las probabilidades de que cada estado clásico aparezca en una medición en la base estándar -- por lo que podemos considerar estos elementos como una descripción del "peso" o la "probabilidad" asociada a cada estado clásico.

• Los elementos fuera de la diagonal de una matriz de densidad describen el grado en que los dos estados clásicos correspondientes a ese elemento (el de la fila y el de la columna) se encuentran en superposición cuántica, así como la fase relativa entre ellos.

Ciertamente no es obvio a priori que los estados cuánticos deban representarse mediante matrices de densidad. De hecho, existe un sentido en el que la elección de representar los estados cuánticos mediante matrices de densidad conduce naturalmente a toda la descripción matemática de la información cuántica. Todo lo demás sobre la información cuántica se deduce de manera bastante lógica a partir de esta única elección.

Conexión con los vectores de estado cuántico

Recordemos que un vector de estado cuántico $\vert\psi\rangle$, que describe un estado cuántico de $\mathsf{X}$, es un vector columna con norma euclidiana igual a $1$ cuyos elementos se han puesto en correspondencia con el conjunto de estados clásicos $\Sigma$. La representación como matriz de densidad $\rho$ del mismo estado se define de la siguiente manera.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Para ser claros: multiplicamos un vector columna por un vector fila, de modo que el resultado es una matriz cuadrada cuyas filas y columnas corresponden a $\Sigma$. Las matrices de esta forma, además de ser matrices de densidad, siempre son proyecciones y tienen rango igual a $1$.

Como ejemplo, definamos dos vectores de estado de qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Las matrices de densidad correspondientes a estos dos vectores son las siguientes.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

A continuación se muestra una tabla con estos estados y algunos otros ejemplos básicos: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ y $\vert {-}\rangle.$ Volveremos a encontrar estos seis estados más adelante en la lección.

Vector de estado	Matriz de densidad
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Como otro ejemplo, consideremos un estado de la lección Sistemas individuales del curso "Fundamentos de la información cuántica", incluyendo ambas representaciones como vector de estado y como matriz de densidad.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Las matrices de densidad que toman la forma $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ para un vector de estado cuántico $\vert \psi \rangle$ se denominan estados puros. No toda matriz de densidad puede escribirse en esta forma; algunos estados no son puros.

Como matrices de densidad, los estados puros siempre tienen un valor propio igual a $1$ y todos los demás valores propios iguales a $0$. Esto es consistente con la interpretación de que los valores propios de una matriz de densidad describen la aleatoriedad o incertidumbre inherente a los estados que representan. Esencialmente, no hay incertidumbre para un estado puro $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ -- el estado es definitivamente $\vert \psi \rangle$.

En general, para un vector de estado cuántico

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

para un sistema con $n$ estados clásicos, la representación como matriz de densidad del mismo estado es la siguiente.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

En el caso especial de los estados puros, se puede verificar que los elementos diagonales de una matriz de densidad describen las probabilidades de que una medición en la base estándar produzca cada estado clásico posible.

Una observación final sobre los estados puros: las matrices de densidad eliminan la ambigüedad respecto a las fases globales que surge con los vectores de estado cuántico. Supongamos que tenemos dos vectores de estado cuántico que difieren por una fase global: $\vert \psi \rangle$ y $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ para un número real $\theta.$ Dado que difieren por una fase global, estos vectores representan exactamente el mismo estado cuántico, aunque los vectores pueden ser diferentes. Las matrices de densidad que obtenemos de estos dos vectores de estado son, sin embargo, idénticas.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

En general, las matrices de densidad proporcionan una representación unívoca de los estados cuánticos: dos estados cuánticos son idénticos y producen exactamente las mismas estadísticas de resultados para cualquier medición posible que se pueda realizar sobre ellos, si y solo si sus representaciones como matrices de densidad son iguales. En lenguaje matemático, esto significa que las matrices de densidad proporcionan una representación fiel de los estados cuánticos.