Representaciones de canales

A continuación, analizaremos las representaciones matemáticas de los canales.

Las aplicaciones lineales de vectores a vectores se pueden representar mediante matrices de forma habitual, donde la acción de la aplicación lineal se describe mediante la multiplicación matriz-vector. Pero los canales son aplicaciones lineales de matrices a matrices, no de vectores a vectores. Entonces, en general, ¿cómo podemos expresar los canales en términos matemáticos?

Para algunos canales, puede existir una fórmula sencilla que los describa, como en los tres ejemplos de canales de qubit no unitarios descritos anteriormente. Pero un canal arbitrario puede no tener una fórmula tan elegante, por lo que en general no resulta práctico expresar un canal de esta forma.

A modo de comparación, en la formulación simplificada de la información cuántica usamos matrices unitarias para representar operaciones sobre vectores de estado cuántico: toda matriz unitaria representa una operación válida y toda operación válida se puede expresar como una matriz unitaria. En esencia, la pregunta que se plantea es: ¿cómo podemos hacer algo análogo para los canales?

Para responder a esta pregunta necesitaremos algo más de maquinaria matemática. Veremos que los canales pueden, de hecho, describirse matemáticamente de varias maneras distintas, incluyendo representaciones que llevan el nombre de tres personas que desempeñaron un papel clave en su desarrollo: Stinespring, Kraus, y Choi. Juntas, estas diferentes formas de describir los canales ofrecen distintos ángulos desde los que pueden verse y analizarse.

Representaciones de Stinespring

Las representaciones de Stinespring se basan en la idea de que todo canal se puede implementar de una manera estándar, en la que un sistema de entrada se combina primero con un sistema de espacio de trabajo inicializado, formando un sistema compuesto; luego se realiza una operación unitaria sobre el sistema compuesto; y finalmente el sistema de espacio de trabajo se descarta (o se traza), dejando la salida del canal.

La siguiente figura muestra dicha implementación, en forma de diagrama de circuito, para un canal cuyo sistema de entrada y de salida es el mismo sistema, $\mathsf{X}.$

En este diagrama, los cables representan sistemas arbitrarios, según indican las etiquetas sobre los cables, y no necesariamente qubits individuales. Además, el símbolo de tierra utilizado habitualmente en ingeniería eléctrica indica explícitamente que $\mathsf{W}$ se descarta.

En palabras, la implementación funciona de la siguiente manera. El sistema de entrada $\mathsf{X}$ comienza en algún estado $\rho,$ mientras que un sistema de espacio de trabajo $\mathsf{W}$ se inicializa al estado de base estándar $\vert 0\rangle.$ Se realiza una operación unitaria $U$ sobre el par $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ y finalmente el sistema de espacio de trabajo $\mathsf{W}$ se traza, dejando $\mathsf{X}$ como la salida.

Nótese que asumimos que $0$ es un estado clásico de $\mathsf{W},$ y lo elegimos como el estado inicial de este sistema, lo que ayuda a simplificar las matemáticas. Sin embargo, podría elegirse cualquier estado puro fijo como estado inicial de $\mathsf{W}$ sin cambiar las propiedades básicas de la representación.

La expresión matemática del canal resultante, $\Phi,$ es la siguiente.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Como de costumbre, usamos la convención de ordenamiento de Qiskit: el sistema $\mathsf{X}$ está en la parte superior del diagrama y, por lo tanto, corresponde al factor tensorial del lado derecho en la fórmula.

En general, los sistemas de entrada y salida de un canal no tienen por qué ser el mismo. Aquí hay una figura que representa la implementación de un canal $\Phi$ cuyo sistema de entrada es $\mathsf{X}$ y cuyo sistema de salida es $\mathsf{Y}.$

Esta vez la operación unitaria transforma $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ en un par $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ donde $\mathsf{G}$ es un nuevo sistema de "basura" que se traza, dejando $\mathsf{Y}$ como sistema de salida. Para que $U$ sea unitaria, debe ser una matriz cuadrada. Esto requiere que el par $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ tenga el mismo número de estados clásicos que el par $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ por lo que los sistemas $\mathsf{W}$ y $\mathsf{G}$ deben elegirse de forma que esto sea posible.

Obtenemos una expresión matemática del canal resultante, $\Phi,$ similar a la anterior.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Cuando un canal se describe de esta manera, como una operación unitaria junto con una especificación de cómo se inicializa el sistema de espacio de trabajo y cómo se selecciona el sistema de salida, decimos que está expresado en forma de Stinespring o que es una representación de Stinespring del canal.

No es para nada obvio, pero todo canal tiene de hecho una representación de Stinespring, como veremos al final de la lección. También veremos que las representaciones de Stinespring no son únicas; siempre habrá distintas formas de implementar el mismo canal de la manera descrita.

Observación

En el contexto de la información cuántica, el término representación de Stinespring suele referirse a una expresión algo más general de un canal con la forma

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

para una isometría $A,$ que es una matriz cuyas columnas son ortonormales pero que puede no ser cuadrada. Para las representaciones de Stinespring que tienen la forma adoptada como definición, podemos obtener una expresión de esta otra forma tomando

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Canal completamente desvanecedor de fase

A continuación se muestra una representación de Stinespring del canal de desfase de qubit $\Delta.$ En este diagrama, ambos cables representan qubits individuales, por lo que se trata de un diagrama de circuito cuántico ordinario.

Para verificar que el efecto que este circuito tiene sobre el qubit de entrada está efectivamente descrito por el canal completamente desvanecedor de fase, podemos recorrer el circuito paso a paso, usando la representación matricial explícita de la traza parcial que se describió en la lección anterior. Llamaremos al qubit superior $\mathsf{X}$ — esta es la entrada y salida del canal — y asumiremos que $\mathsf{X}$ comienza en algún estado arbitrario $\rho.$

El primer paso es la introducción de un qubit de espacio de trabajo, $\mathsf{W}.$ Antes de realizar la compuerta NOT controlada, el estado del par $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ se representa mediante la siguiente matriz de densidad.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Según la convención de ordenamiento de Qiskit, el qubit superior $\mathsf{X}$ está a la derecha y el qubit inferior $\mathsf{W}$ está a la izquierda. Usamos matrices de densidad en lugar de vectores de estado cuántico, pero se tensorean de manera similar a lo que se hace en la formulación simplificada de la información cuántica.

El siguiente paso es realizar la operación NOT controlada, donde $\mathsf{X}$ es el control y $\mathsf{W}$ es el objetivo. Teniendo en cuenta la convención de ordenamiento de Qiskit, la representación matricial de esta compuerta es la siguiente.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Esta es una operación unitaria, y para aplicarla a una matriz de densidad la conjugamos por la matriz unitaria. La conjugada transpuesta no modifica esta matriz en particular, por lo que el resultado es el siguiente.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Finalmente, se realiza la traza parcial sobre $\mathsf{W}.$ Recordando la acción de esta operación sobre matrices $4\times 4,$ descrita en la lección anterior, obtenemos la siguiente matriz de densidad de salida.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Alternativamente, podemos calcular la traza parcial convirtiendo primero a notación de Dirac.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Al trazar el qubit del lado izquierdo se obtiene el mismo resultado que antes.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Una forma intuitiva de entender este circuito es que la operación NOT controlada copia efectivamente el estado clásico del qubit de entrada, y cuando la copia se desecha el qubit de entrada "colapsa" probabilísticamente a uno de los dos posibles estados clásicos, lo que equivale al desfase completo.

Canal completamente desvanecedor de fase (alternativa)

El circuito descrito anteriormente no es la única manera de implementar el canal completamente desvanecedor de fase. Aquí hay otra forma de hacerlo.

A continuación se presenta un análisis rápido que muestra que esta implementación funciona. Después de realizar la compuerta de Hadamard, tenemos el siguiente estado de dos qubits como matriz de densidad:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

La compuerta $\sigma_z$ controlada actúa por conjugación de la siguiente manera.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Finalmente, se traza el sistema de espacio de trabajo $\mathsf{W}.$

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Esta implementación se basa en una idea sencilla: el desfase es equivalente a no hacer nada (es decir, aplicar una operación identidad) o aplicar una compuerta $\sigma_z,$ cada una con probabilidad $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Es decir, el canal completamente desvanecedor de fase es un ejemplo de canal mixto-unitario y, más específicamente, un canal de Pauli.

Canal de reinicio de qubit

El canal de reinicio de qubit se puede implementar de la siguiente manera.

La compuerta de intercambio simplemente desplaza el estado inicializado $\vert 0\rangle$ del qubit de espacio de trabajo para que sea la salida, mientras que el estado de entrada $\rho$ se mueve al qubit inferior y luego se traza.

Alternativamente, si no exigimos que la salida del canal quede en la parte superior, podemos tomar este circuito muy sencillo como nuestra representación.

En palabras, reiniciar un qubit al estado $\vert 0\rangle$ es equivalente a descartar el qubit y obtener uno nuevo.

Representaciones de Kraus

Ahora hablaremos de las representaciones de Kraus, que ofrecen una forma formulaica conveniente de expresar la acción de un canal mediante multiplicación y suma de matrices. En particular, una representación de Kraus es una especificación de un canal, $\Phi,$ de la siguiente forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Aquí, $A_0,\ldots,A_{N-1}$ son matrices que tienen todas las mismas dimensiones: sus columnas corresponden a los estados clásicos del sistema de entrada, $\mathsf{X},$ y sus filas corresponden a los estados clásicos del sistema de salida, ya sea $\mathsf{X}$ u otro sistema $\mathsf{Y}.$ Para que $\Phi$ sea un canal válido, estas matrices deben satisfacer la siguiente condición.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Esta condición es equivalente a la condición de que $\Phi$ preserve la traza. La otra propiedad requerida de un canal —la positividad completa— se deriva de la forma general de la ecuación para $\Phi,$ como una suma de conjugaciones.

A veces es conveniente nombrar las matrices $A_0,\ldots,A_{N-1}$ de una manera diferente. Por ejemplo, podríamos numerarlas empezando desde $1,$ o podríamos usar estados de algún conjunto de estados clásicos arbitrario $\Gamma$ en lugar de números como subíndices:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{donde} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Estas distintas maneras de nombrar estas matrices, que se denominan matrices de Kraus, son todas habituales y pueden ser convenientes en diferentes situaciones — pero en esta lección usaremos los nombres $A_0,\ldots,A_{N-1}$ por simplicidad.

El número $N$ puede ser un entero positivo arbitrario, pero no necesita ser demasiado grande: si el sistema de entrada $\mathsf{X}$ tiene $n$ estados clásicos y el sistema de salida $\mathsf{Y}$ tiene $m$ estados clásicos, entonces cualquier canal de $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ siempre tendrá una representación de Kraus para la cual $N$ es como máximo el producto $nm.$

Canal completamente desfasante

Obtenemos una representación de Kraus del canal completamente desfasante tomando $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ y $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Estas matrices satisfacen la condición requerida.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Alternativamente podemos tomar $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ y $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z,$ de modo que

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

tal como se calculó anteriormente. En este caso, la condición requerida se puede verificar de la siguiente manera.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Canal de reinicio de qubit

Obtenemos una representación de Kraus del canal de reinicio de qubit tomando $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ y $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Estas matrices satisfacen la condición requerida.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Canal completamente despolarizante

Una manera de obtener una representación de Kraus para el canal completamente despolarizante es elegir las matrices de Kraus $A_0,\ldots,A_3$ de la siguiente forma.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Para cualquier matriz de densidad de qubit $\rho$ tenemos entonces

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Una representación de Kraus alternativa se obtiene eligiendo las matrices de Kraus de la siguiente manera.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Para verificar que estas matrices de Kraus representan efectivamente el canal completamente despolarizante, observemos primero cómo funciona la conjugación de una matriz $2\times 2$ arbitraria por una matriz de Pauli.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Esto nos permite verificar la corrección de nuestra representación de Kraus.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Esta representación de Kraus expresa una idea importante: el estado de un qubit puede ser completamente aleatorizado aplicándole una de las cuatro matrices de Pauli (incluyendo la matriz identidad) elegida de forma uniforme al azar. Por tanto, el canal completamente despolarizante es otro ejemplo de canal de Pauli.

No es posible encontrar una representación de Kraus para el canal completamente despolarizante $\Omega$ con tres o menos matrices de Kraus; se necesitan al menos cuatro para este canal.

Canales unitarios

Si tenemos una matriz unitaria $U$ que representa una operación sobre un sistema $\mathsf{X},$ podemos expresar la acción de esta operación unitaria como un canal:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Esta expresión ya es una representación de Kraus válida del canal $\Phi$ en la que resulta que solo hay una matriz de Kraus $A_0 = U.$ En este caso, la condición requerida

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

toma la forma mucho más simple $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ que sabemos que es cierta porque $U$ es unitaria.

Representaciones de Choi

Ahora hablaremos de una tercera manera de describir los canales, a través de la representación de Choi. El mecanismo es el siguiente: cada canal se representa mediante una única matriz conocida como su matriz de Choi. Si el sistema de entrada tiene $n$ estados clásicos y el sistema de salida tiene $m$ estados clásicos, entonces la matriz de Choi del canal tendrá $nm$ filas y $nm$ columnas.

Las matrices de Choi proporcionan una representación fiel de los canales, lo que significa que dos canales son iguales si y solo si tienen la misma matriz de Choi. Una razón por la que esto es importante es que nos ofrece una forma de determinar si dos descripciones diferentes corresponden al mismo canal o a canales distintos: simplemente calculamos las matrices de Choi y las comparamos para ver si son iguales. En cambio, las representaciones de Stinespring y Kraus no son únicas de esta manera, como hemos visto.

Las matrices de Choi también son útiles en otros aspectos para descubrir diversas propiedades matemáticas de los canales.

Definición

Sea $\Phi$ un canal del sistema $\mathsf{X}$ al sistema $\mathsf{Y},$ y supongamos que el conjunto de estados clásicos del sistema de entrada $\mathsf{X}$ es $\Sigma.$ La representación de Choi de $\Phi,$ que se denota $J(\Phi),$ se define por la siguiente ecuación.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Si suponemos que $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ para algún entero positivo $n,$ entonces podemos expresar $J(\Phi)$ alternativamente como una matriz de bloques:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

Es decir, como matriz de bloques, la matriz de Choi de un canal tiene un bloque $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ por cada par $(a,b)$ de estados clásicos del sistema de entrada, con los bloques organizados de manera natural.

Nota que el conjunto $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ forma una base para el espacio de todas las matrices $n\times n.$ Como $\Phi$ es lineal, se desprende que su acción puede recuperarse a partir de su matriz de Choi tomando combinaciones lineales de los bloques.

El estado de Choi de un canal

Otra forma de pensar en la matriz de Choi de un canal es que se convierte en una matriz de densidad si la dividimos por $n = \vert\Sigma\vert.$ Centrémonos en la situación en que $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ por simplicidad, e imaginemos que tenemos dos copias idénticas de $\mathsf{X}$ que se encuentran juntas en el estado entrelazado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Como matriz de densidad, este estado es el siguiente.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Si aplicamos $\Phi$ a la copia de $\mathsf{X}$ del lado derecho, obtenemos la matriz de Choi dividida por $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

En otras palabras, salvo un factor de normalización $1/n,$ la matriz de Choi de $\Phi$ es la matriz de densidad que obtenemos evaluando $\Phi$ sobre una mitad de un par máximamente entrelazado de sistemas de entrada, tal como ilustra la siguiente figura.

Observa en particular que esto implica que la matriz de Choi de un canal debe ser siempre semidefinida positiva.

También vemos que, como el canal $\Phi$ se aplica únicamente al sistema derecho/superior, no puede afectar al estado reducido del sistema izquierdo/inferior. En el caso que nos ocupa, ese estado es el estado completamente mixto $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n,$ y por tanto

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Eliminando el denominador $n$ en ambos lados se obtiene $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

También podemos llegar a esta misma conclusión usando el hecho de que los canales deben preservar siempre la traza, y por tanto

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

En resumen, la representación de Choi $J(\Phi)$ para cualquier canal $\Phi$ debe ser semidefinida positiva y debe satisfacer

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Como veremos al final de la lección, estas dos condiciones no son solo necesarias sino también suficientes, lo que significa que cualquier aplicación lineal $\Phi$ de matrices a matrices que satisfaga estos requisitos debe ser, de hecho, un canal.

Canal completamente desfasante

La representación de Choi del canal completamente desfasante $\Delta$ es

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canal completamente despolarizante

La representación de Choi del canal completamente despolarizante es

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canal de reinicio de qubit

La representación de Choi del canal de reinicio de qubit $\Phi$ es

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

El canal identidad

La representación de Choi del canal identidad de qubit $\operatorname{Id}$ es

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Observa en particular que $J(\operatorname{Id})$ no es la matriz identidad. La representación de Choi no describe directamente la acción de un canal de la manera habitual en que una matriz representa una aplicación lineal.