Fundamentos de los canales cuánticos

En términos matemáticos, los canales son aplicaciones lineales de matrices de densidad a matrices de densidad que satisfacen ciertos requisitos. A lo largo de esta lección, utilizamos letras griegas mayúsculas, entre ellas $\Phi$ y $\Psi,$ así como en ciertos casos algunas otras letras, para referirnos a los canales.

Cada canal $\Phi$ tiene un sistema de entrada y un sistema de salida, y típicamente usaremos el nombre $\mathsf{X}$ para el sistema de entrada e $\mathsf{Y}$ para el sistema de salida. Es frecuente que el sistema de salida de un canal sea el mismo que el sistema de entrada, y en ese caso podemos usar la misma letra $\mathsf{X}$ para ambos.

Los canales son aplicaciones lineales

Los canales se describen mediante aplicaciones lineales, al igual que las operaciones probabilísticas en la formulación estándar de la información clásica y las operaciones unitarias en la formulación simplificada de la información cuántica.

Cuando un canal $\Phi$ se aplica a un sistema de entrada $\mathsf{X}$ cuyo estado se describe mediante una matriz de densidad $\rho$, el sistema de salida del canal se describe mediante la matriz de densidad $\Phi(\rho)$. Si el sistema de salida de $\Phi$ es también $\mathsf{X}$, podemos simplemente considerar que el canal representa un cambio de estado de $\mathsf{X}$ de $\rho$ a $\Phi(\rho)$. Si el sistema de salida de $\Phi$ es un sistema diferente, $\mathsf{Y},$ en lugar de $\mathsf{X}$, debe entenderse que $\mathsf{Y}$ es un nuevo sistema que surge del proceso de aplicar el canal, y que el sistema de entrada, $\mathsf{X},$ ya no está disponible después de aplicar el canal — como si el canal mismo hubiera convertido $\mathsf{X}$ en $\mathsf{Y}$ y lo hubiera dejado en el estado $\Phi(\rho)$.

La suposición de que los canales se describen mediante aplicaciones lineales puede considerarse como un axioma — es decir, un postulado fundamental de la teoría y no algo que se demuestra. Sin embargo, podemos ver la necesidad de que los canales actúen linealmente sobre combinaciones convexas de entradas de matrices de densidad, para que sean consistentes con la teoría de probabilidad y con lo que ya hemos aprendido sobre las matrices de densidad.

Más concretamente: supongamos que tenemos un canal $\Phi$ y lo aplicamos a un sistema cuando se encuentra en uno de dos estados representados por las matrices de densidad $\rho$ y $\sigma$. Si aplicamos el canal a $\rho$, obtenemos la matriz de densidad $\Phi(\rho),$ y si lo aplicamos a $\sigma$, obtenemos la matriz de densidad $\Phi(\sigma).$ Si elegimos aleatoriamente el estado de entrada de $\mathsf{X}$ como $\rho$ con probabilidad $p$ y $\sigma$ con probabilidad $1-p$, obtenemos el estado de salida $\Phi(\rho)$ con probabilidad $p$ y $\Phi(\sigma)$ con probabilidad $1-p,$ que representamos como promedio ponderado de matrices de densidad como $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$.

Por otro lado, podríamos considerar el estado de entrada del canal como representado por el promedio ponderado $p\rho + (1-p)\sigma$, en cuyo caso la salida es $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$. Es el mismo estado independientemente de como pensemos en ello, por lo que debe cumplirse

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Siempre que una aplicación satisface está condición para toda elección de matrices de densidad $\rho$ y $\sigma$ y escalar $p\in [0,1]$, existe siempre una forma única de extender esta aplicación a cualquier entrada matricial (no solo a entradas de matrices de densidad) de modo que sea lineal.

Los canales transforman matrices de densidad en matrices de densidad

Naturalmente, ademas de ser aplicaciones lineales, los canales también deben transformar matrices de densidad en matrices de densidad. Cuando un canal $\Phi$ se aplica a un sistema de entrada mientras este se encuentra en un estado representado por una matriz de densidad $\rho$, obtenemos un sistema cuyo estado está representado por $\Phi(\rho)$, que debe ser una matriz de densidad válida para que podamos interpretarlo como un estado.

Sin embargo, es de importancia crucial considerar una situación más general en la que un canal $\Phi$ transforma un sistema $\mathsf{X}$ en un sistema $\mathsf{Y}$ en presencia de un sistema adicional $\mathsf{Z}$ al que no le sucede nada. Es decir: si comenzamos con el par de sistemas $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ en un estado descrito por una matriz de densidad y luego aplicamos $\Phi$ solo a $\mathsf{X}$, transformandolo en $\mathsf{Y}$, debemos obtener una matriz de densidad que describe un estado del par $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$.

Podemos describir en términos matemáticos como un canal $\Phi$ con sistema de entrada $\mathsf{X}$ y sistema de salida $\mathsf{Y}$ transforma un estado del par $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ en un estado de $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ cuando no se hace nada con $\mathsf{Z}$. Para simplificar las cosas, supongamos que el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{Z}$ es $\{0,\ldots,m-1\}$. Esto nos permite escribir una matriz de densidad arbitraria $\rho$ que representa un estado de $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ en la siguiente forma.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

En el lado derecho de esta ecuación tenemos una matriz de bloques, que podemos pensar como una matriz de matrices, excepto que se han omitido los paréntesis internos. Esto nos deja una matriz ordinaria, que alternativamente puede describirse en notación de Dirac como en la expresión del medio. Cada matriz $\rho_{a,b}$ tiene filas y columnas correspondientes a los estados clásicos de $\mathsf{X},$ y estas matrices pueden determinarse mediante una fórmula simple.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Observa que estas no son en general matrices de densidad — solo cuando se unen para formar $\rho$ obtenemos una matriz de densidad.

La siguiente ecuación describe el estado de $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ que se obtiene al aplicar $\Phi$ a $\mathsf{X}$.

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Observa que, para evaluar esta expresión para una elección dada de $\Phi$ y $\rho$, debemos entender cómo actúa $\Phi$ como aplicación lineal sobre entradas que no son matrices de densidad, ya que cada $\rho_{a,b}$ en general no será por si solo una matriz de densidad. La ecuación es consistente con la expresión $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ en la que $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ denota el canal identidad sobre el sistema $\mathsf{Z}$. Esto presupone que hemos extendido la noción de producto tensorial a aplicaciones lineales de matrices a matrices, lo cual es sencillo — pero no es esencial para el propósito de esta lección y no se explicará más.

Para reiterar una afirmación anterior: para que una aplicación lineal $\Phi$ sea un canal válido, debe ocurrir que para toda elección de $\mathsf{Z}$ y toda matriz de densidad $\rho$ del par $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$, siempre obtengamos una matriz de densidad cuando $\Phi$ se aplica a $\mathsf{X}$. En términos matemáticos, las propiedades que una aplicación debe poseer para ser un canal son: debe preservar la traza — de modo que la matriz obtenida al aplicar el canal tenga traza uno — así como ser completamente positiva — de modo que la matriz resultante sea positiva semidefinida. Ambas son propiedades importantes que pueden considerarse y estudiarse por separado, pero no es crucial para el propósito de esta lección considerar estas propiedades de forma aislada.

De hecho, existen aplicaciones lineales que siempre producen una matriz de densidad cuando se les da una matriz de densidad como entrada, pero que no transforman matrices de densidad en matrices de densidad para sistemas compuestos — de modo que excluimos de la clase de canales algunas aplicaciones lineales de esta manera. (La aplicación lineal dada por la transposición de matrices es el ejemplo más simple.)

Tenemos una fórmula análoga a la anterior para el caso en que los dos sistemas $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Z}$ están intercambiados, de modo que $\Phi$ se aplica al sistema de la izquierda en lugar del de la derecha.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Se supone que $\rho$ es un estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ en lugar de $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$. Esta vez la descripción en matrices de bloques no funciona, porque las matrices $\rho_{a,b}$ no caen en filas y columnas consecutivas en $\rho$, pero es la misma estructura matemática subyacente.

Toda aplicación lineal que satisface el requisito de que siempre transforma matrices de densidad en matrices de densidad, incluso cuando se aplica solo a una parte de un sistema compuesto, representa un canal válido. En un sentido abstracto, la noción de canal está por tanto determinada por la noción de matriz de densidad junto con la suposición de que los canales actúan linealmente. En este aspecto, los canales son análogos a las operaciones unitarias en la formulación simplificada de la información cuántica, que son exactamente las aplicaciones lineales que siempre transforman vectores de estado cuántico en vectores de estado cuántico para un sistema dado; así como a las operaciones probabilísticas (representadas por matrices estocásticas) en la formulación estándar de la información clásica, que son exactamente las aplicaciones lineales que siempre transforman vectores de probabilidad en vectores de probabilidad.

Operaciones unitarias como canales

Supongamos que $\mathsf{X}$ es un sistema y $U$ es una matriz unitaria que representa una operación sobre $\mathsf{X}$. El canal $\Phi$ que describe está operación sobre matrices de densidad se define, para toda matriz de densidad $\rho$ que representa un estado cuántico de $\mathsf{X}$, como sigue.

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Esta acción, en la que multiplicamos por la izquierda con $U$ y por la derecha con $U^{\dagger}$, se conoce comúnmente como conjugación por la matriz $U$.

Esta descripción es consistente con el hecho de que la matriz de densidad que representa un vector de estado cuántico dado $\vert\psi\rangle$ es $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$. Cuando la operación unitaria $U$ se aplica a $\vert\psi\rangle$, el estado de salida está representado por el vector $U\vert\psi\rangle$, y por tanto la matriz de densidad que describe este estado es

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Una vez que sabemos que la operación $U$ como canal tiene la acción $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ sobre estados puros, podemos concluir por linealidad que debe actuar para toda matriz de densidad $\rho$ como en la ecuación $(1)$ anterior.

El canal particular que obtenemos cuando elegimos $U = \mathbb{I}$ es el canal identidad $\;\operatorname{Id},$ al que también podemos darle un índice (como $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ que ya hemos encontrado) cuando queremos indicar explícitamente sobre que sistema actúa este canal. Su salida es siempre igual a su entrada: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Esto puede no parecer un canal interesante, pero de hecho es muy importante — y es apropiado que sea nuestro primer ejemplo. El canal identidad es en ciertos contextos el canal perfecto y representa un medio de almacenamiento ideal o una transmisión perfecta y sin ruido de información de un emisor a un receptor.

Todo canal definido por una operación unitaria de esta manera es efectivamente un canal válido: la conjugación por una matriz $U$ produce una aplicación lineal; y si $\rho$ es una matriz de densidad de un sistema $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ y $U$ es unitaria, entonces el resultado, que podemos expresar como

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

es también una matriz de densidad. Esta matriz es positiva semidefinida, pues si $\rho = M^{\dagger} M,$ entonces

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

para $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ y debe tener traza unitaria por la propiedad cíclica de la traza.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Combinaciones convexas de canales

Supongamos que tenemos dos canales, $\Phi_0$ y $\Phi_1,$ que comparten el mismo sistema de entrada y el mismo sistema de salida. Para cualquier número real $p\in[0,1]$, podríamos decidir aplicar $\Phi_0$ con probabilidad $p$ y $\Phi_1$ con probabilidad $1-p$, lo que nos da un nuevo canal que puede escribirse como $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1$. Explicitamente, la siguiente ecuación simple indica cómo actúa este canal sobre una matriz de densidad dada.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Más en general, si tenemos canales $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ y un vector de probabilidad $(p_0,\ldots, p_{m-1})$, podemos promediar estos canales para obtener un nuevo canal.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Esto es una combinación convexa de canales, y mediante este proceso siempre obtenemos un canal válido. Una formulación matemática simple es que, para una elección dada de sistema de entrada y de salida, el conjunto de todos los canales es un conjunto convexo.

Como ejemplo, podríamos decidir aplicar una de una colección de operaciones unitarias a un sistema particular. Obtenemos lo que se conoce como un canal mixto unitario, un canal que puede expresarse en la siguiente forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Los canales mixtos unitarios en los que todas las operaciones unitarias son matrices de Pauli (o productos tensoriales de matrices de Pauli) se denominan canales de Pauli y son frecuentes en la computación cuántica.

Ejemplos de canales de qubit

Ahora consideramos algunos ejemplos específicos de canales que no son unitarios. Para todos estos ejemplos, tanto el sistema de entrada como el de salida son qubits individuales, por lo que son ejemplos de canales de qubit.

El canal de reseteo de qubit

Este canal hace algo muy simple: resetea un qubit al estado $\vert 0\rangle$. Como aplicación lineal, este canal puede expresarse para toda matriz de densidad de qubit $\rho$ como sigue.

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Aunque la traza de toda matriz de densidad $\rho$ es $1$, escribir el canal de esta forma deja claro que se trata de una aplicación lineal que podría aplicarse a cualquier matriz $2\times 2$, no solo a una matriz de densidad. Como ya se ha observado, debemos entender como actúan los canales como aplicaciones lineales sobre entradas que no son matrices de densidad, para describir qué sucede cuando se aplican solo a una parte de un sistema compuesto.

Supongamos, por ejemplo, que $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$ son qubits, y juntos el par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se encuentra en el estado de Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Como matriz de densidad, este estado viene dado por

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

En notación de Dirac, podemos expresar este estado alternativamente como sigue.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Aplicando el canal de reseteo de qubit a $\mathsf{A}$ y sin hacer nada con $\mathsf{B}$, obtenemos el siguiente estado.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Podria ser tentador decir que resetear $\mathsf{A}$ tuvo un efecto sobre $\mathsf{B}$, haciendolo completamente mezclado — pero en cierto sentido es realmente lo contrario. Antes de que $\mathsf{A}$ fuera reseteado, el estado reducido de $\mathsf{B}$ era el estado completamente mezclado, y esto no cambia al resetear $\mathsf{A}$.

El canal completamente defasante

He aquí un ejemplo de canal de qubit llamado $\Delta,$ descrito por su acción sobre matrices $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

En otras palabras: $\Delta$ anula las entradas fuera de la diagonal de una matriz $2\times 2$. Este ejemplo puede generalizarse a sistemas arbitrarios, no solo a qubits: sin importar que matriz de densidad se de como entrada, el canal anula todas las entradas fuera de la diagonal y deja la diagonal sin cambios.

Este canal se denomina canal completamente defasante, y puede considerarse como una forma extrema del proceso conocido como decoherencia — que esencialmente destruye las superposiciones cuánticas y las convierte en estados probabilísticos clásicos.

Otra forma de pensar en este canal: describe una medición en la base estándar de un qubit, donde un qubit de entrada se mide y luego se descarta, y la salida es una matriz de densidad que describe el resultado de la medición. Alternativamente, pero de forma equivalente, podemos imaginar que se descarta el resultado de la medición y el qubit permanece en su estado posterior a la medición.

Consideremos de nuevo un e-bit y veamos qué sucede cuando $\Delta$ se aplica a solo uno de los dos qubits. Concretamente, tenemos qubits $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B},$ para los cuales $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se encuentra en el estado $\vert\phi^+\rangle$, y esta vez aplicamos el canal al segundo qubit. He aquí el estado que obtenemos.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Alternativamente, podemos expresar esta ecuación usando matrices de bloques.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

También podemos considerar un canal de qubit que defasa un qubit solo ligeramente y no completamente, lo cual es una forma menos extrema de decoherencia que la representada por el canal completamente defasante. Supongamos que $\varepsilon \in (0,1)$ es un número real pequeño pero distinto de cero. Podemos definir un canal

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

que transforma una matriz de densidad de qubit dada $\rho$ como sigue:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Es decir, con probabilidad $1-\varepsilon$ no pasa nada, y con probabilidad $\varepsilon$ el qubit se defasa. En términos matriciales, está acción puede expresarse como sigue, donde las entradas diagonales permanecen sin cambios y las entradas fuera de la diagonal se multiplican por $1-\varepsilon$.

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

El canal completamente despolarizante

He aquí otro ejemplo de canal de qubit llamado $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Aquí $\mathbb{I}$ denota la matriz identidad $2\times 2$. En otras palabras: para cualquier entrada de matriz de densidad $\rho$, el canal $\Omega$ produce el estado completamente mezclado. No puede haber más ruido que eso. Este canal se denomina canal completamente despolarizante, y al igual que el canal completamente defasante, puede generalizarse a sistemas arbitrarios en lugar de qubits.

También podemos considerar una variante menos extrema de este canal, donde la despolarización ocurre con probabilidad $\varepsilon$, de manera similar a lo que vimos con el canal de defasamiento.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$