Purificaciones

Definición de purificaciones

Comencemos con una definición matemática precisa de las purificaciones.

Definición

Sea $\mathsf{X}$ un sistema en un estado representado por una matriz de densidad $\rho$, y sea $\vert\psi\rangle$ un vector de estado cuántico de un par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ que produce $\rho$ al tomar la traza parcial sobre $\mathsf{Y}$:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

El vector de estado $\vert\psi\rangle$ se denomina entonces una purificación de $\rho$.

El estado puro $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ expresado como matriz de densidad en lugar de vector de estado cuántico, también se denomina frecuentemente purificación de $\rho$ cuando se satisface la ecuación de la definición — sin embargo, generalmente usamos el término para un vector de estado cuántico.

El término purificación se utiliza también de forma más general cuando el orden de los sistemas está invertido, cuando los sistemas y estados tienen otros nombres (naturalmente), y cuando hay más de dos sistemas. Por ejemplo, si $\vert \psi \rangle$ es un vector de estado cuántico que representa un estado puro de un sistema compuesto $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$, y la ecuación

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

se cumple para una matriz de densidad $\rho$ que representa un estado del sistema $(\mathsf{A},\mathsf{C})$, entonces $\vert\psi\rangle$ sigue denominandose una purificación de $\rho$.

Sin embargo, en el marco de esta lección, nos centramos en la forma específica descrita en la definición. Las propiedades y hechos sobre purificaciones según está definición se generalizan típicamente a más de dos sistemas reordenando los sistemas y dividiendolos en dos sistemas compuestos, uno de los cuales desempena el papel de $\mathsf{X}$ y el otro el papel de $\mathsf{Y}$.

Existencia de purificaciones

Sean $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ dos sistemas cualesquiera y $\rho$ un estado dado de $\mathsf{X}.$ Demostraremos que existe un vector de estado cuántico $\vert\psi\rangle$ de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que purifica $\rho$ — que es otra forma de decir que $\vert\psi\rangle$ es una purificación de $\rho$ — siempre que el sistema $\mathsf{Y}$ sea lo suficientemente grande. En particular, si $\mathsf{Y}$ tiene al menos tantos estados clásicos como $\mathsf{X},$ para cualquier estado $\rho$ existe necesariamente una purificación de esta forma. Para algunos estados $\rho$ se necesitan menos estados clásicos de $\mathsf{Y}$; en general, $\operatorname{rank}(\rho)$ estados clásicos de $\mathsf{Y}$ son necesarios y suficientes para la existencia de un vector de estado cuántico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que purifique $\rho$.

Consideremos primero una representación arbitraria de $\rho$ como combinación convexa de $n$ estados puros, para un entero positivo $n$ arbitrario.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

En esta expresión, $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ es un vector de probabilidad y $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ son vectores de estado cuántico de $\mathsf{X}.$

Una forma de obtener tal expresión es el teorema espectral, donde $n$ es el número de estados clásicos de $\mathsf{X}$, $p_0,\ldots,p_{n-1}$ son los valores propios de $\rho$ y $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ son vectores propios ortonormales correspondientes a estos valores propios.

De hecho, no es necesario incluir en la suma los términos correspondientes a los valores propios nulos de $\rho$, lo que nos permite alternativamente elegir $n = \operatorname{rank}(\rho)$ y tomar $p_0,\ldots,p_{n-1}$ como los valores propios no nulos de $\rho$. Este es el valor minimo de $n$ para el que existe una expresión de la forma anterior.

Para ser claros: no es necesario que la representación elegida de $\rho$ como combinación convexa de estados puros provenga del teorema espectral — esta es solo una forma de obtener tal expresión. En particular, $n$ puede ser un entero positivo arbitrario, los vectores unitarios $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ no necesitan ser ortogonales, y las probabilidades $p_0,\ldots,p_{n-1}$ no necesitan ser valores propios de $\rho$.

Ahora podemos identificar una purificación de $\rho$ como sigue.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Aquí suponemos que los estados clásicos de $\mathsf{Y}$ incluyen los valores $0,\ldots,n-1$. Si no es así, se puede sustituir cualquier selección de $n$ estados clásicos distintos de $\mathsf{Y}$ en lugar de $0,\ldots,n-1$. Verificar que se trata efectivamente de una purificación de $\rho$ es una simple cuestión de calcular la traza parcial, lo cual puede hacerse de las dos formas equivalentes siguientes.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Más en general, para cualquier conjunto ortonormal de vectores $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$, el vector de estado cuántico

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

es una purificación de $\rho.$

Ejemplo

Sean $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ ambos qubits y

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

una matriz de densidad que representa un estado de $\mathsf{X}$.

Usando el teorema espectral, podemos escribir $\rho$ como

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

donde $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ El vector de estado cuántico

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

que describe un estado puro del par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, es por tanto una purificación de $\rho.$

Alternativamente, podemos escribir

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Esta es una combinación convexa de estados puros, pero no una descomposición espectral, ya que $\vert 0\rangle$ y $\vert +\rangle$ no son ortogonales y $1/2$ no es un valor propio de $\rho$. No obstante, el vector de estado cuántico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

es una purificación de $\rho.$

Descomposiciones de Schmidt

A continuación discutimos las descomposiciones de Schmidt, es decir, expresiones de vectores de estado cuántico de pares de sistemas que adoptan una forma determinada. Las descomposiciones de Schmidt están estrechamente relacionadas con las purificaciones y son también muy útiles por si mismas. Cuando se piensa en un vector de estado cuántico dado $\vert\psi\rangle$ de un par de sistemas, el primer paso suele ser identificar o considerar una descomposición de Schmidt de ese estado.

Definición

Sea $\vert \psi\rangle$ un vector de estado cuántico dado de un par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Una descomposición de Schmidt de $\vert\psi\rangle$ es una expresión de la forma

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

donde $p_0,\ldots,p_{r-1}$ son números reales positivos que suman $1$ y ambos conjuntos $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ y $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ son ortonormales.

Los valores

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

en una descomposición de Schmidt de $\vert\psi\rangle$ se denominan coeficientes de Schmidt, que están determinados de forma única (salvo su orden) — son los unicos números reales positivos que pueden aparecer en una expresión de $\vert\psi\rangle$ de esta forma. Los conjuntos

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{y}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

en cambio, no están determinados de forma única, y la libertad en la elección de estos conjuntos de vectores se aclara en la explicación siguiente.

Ahora mostraremos que un vector de estado cuántico dado $\vert\psi\rangle$ posee efectivamente una descomposición de Schmidt, y aprenderemos como encontrar una.

Consideremos primero una base (no necesariamente ortogonal) arbitraria $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ del espacio vectorial correspondiente al sistema $\mathsf{X}$. Como es una base, siempre existe una selección única de vectores $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle,$ para la cual se cumple la siguiente ecuación.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Supongamos, por ejemplo, que $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ es la base estándar de $\mathsf{X}.$ Bajo la suposición de que el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{X}$ es $\{0,\ldots,n-1\}$, esto significa que $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ para cada $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ y obtenemos

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

cuando

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

para cada $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ Tales expresiones las consideramos frecuentemente al pensar en una medición en la base estándar de $\mathsf{X}$.

Es importante notar que la fórmula

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

para los vectores $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ en este ejemplo solo funciona porque $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ es una base ortonormal. En general, si $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ es una base no necesariamente ortonormal, los vectores $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ están determinados de forma única por la ecuación $(1)$, pero se necesita una fórmula diferente. Una forma de encontrarlos es identificar primero vectores $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ tales que la ecuación

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

se satisfaga para todos $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$, tras lo cual tenemos

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Para una base dada $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ del espacio vectorial de $\mathsf{X}$, los vectores únicamente determinados $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle,$ para los cuales se cumple la ecuación $(1)$, no satisfacen necesariamente propiedades especiales, incluso si $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ es una base ortonormal. Sin embargo, si elegimos $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ como una base ortonormal de vectores propios del estado reducido

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr)$$

ocurre algo interesante. Más precisamente: para la colección únicamente determinada $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\},$ para la cual se cumple la ecuación $(1)$, resulta que está colección debe ser ortogonal.

En detalle, consideremos una descomposición espectral de $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Aquí denotamos los valores propios de $\rho$ como $p_0,\ldots,p_{n-1}$ en reconocimiento del hecho de que $\rho$ es una matriz de densidad — el vector de valores propios $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ forma por tanto un vector de probabilidad — mientras que $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ es una base ortonormal de vectores propios correspondientes a estos valores propios. Para ver que la colección única $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\},$ para la cual se cumple la ecuación $(1)$, es necesariamente ortogonal, podemos empezar calculando la traza parcial.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Esta expresión debe coincidir con la descomposición espectral de $\rho$. Dado que $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ es una base, concluimos que el conjunto de matrices

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

es linealmente independiente, y por tanto

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

lo que demuestra que $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ es ortogonal.

Casi hemos obtenido una descomposición de Schmidt de $\vert\psi\rangle$. Falta descartar los términos en $(1)$ para los cuales $p_a = 0$ y luego escribir $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ para un vector unitario $\vert y_a\rangle$ para cada uno de los términos restantes.

Una forma conveniente de hacer esto comienza observando que podemos numerar los pares valor propio/vector propio en una descomposición espectral del estado reducido $\rho$ de forma arbitraria — por tanto podemos suponer que los valores propios están ordenados de forma decreciente:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Con $r = \operatorname{rank}(\rho)$ encontramos $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ y $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ Entonces tenemos

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

y podemos escribir el vector de estado cuántico $\vert \psi \rangle$ como

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Dado que

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

para $a=0,\ldots,r-1,$ podemos definir vectores unitarios $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ como

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

de modo que $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ para cada $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ Dado que los vectores $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ son ortogonales y no nulos, se sigue que $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ es un conjunto ortonormal, y hemos obtenido así una descomposición de Schmidt de $\vert\psi\rangle$.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Respecto a la elección de los vectores $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ y $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$, podemos elegir $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ como un conjunto ortonormal arbitrario de vectores propios correspondientes a los valores propios no nulos del estado reducido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (como hicimos arriba), en cuyo caso los vectores $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ quedan únicamente determinados.

La situación es simétrica entre los dos sistemas, por lo que alternativamente podemos elegir $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ como un conjunto ortonormal arbitrario de vectores propios correspondientes a los valores propios no nulos del estado reducido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$, en cuyo caso los vectores $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ quedan únicamente determinados.

Sin embargo, hay que notar: una vez que uno de los conjuntos se ha elegido como conjunto de vectores propios del estado reducido correspondiente, el otro queda determinado — por lo que no pueden elegirse independientemente.

Aunque no volverá a aparecer en está serie, es notable que los valores propios no nulos $p_0,\ldots,p_{r-1}$ del estado reducido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ deben coincidir siempre con los valores propios no nulos del estado reducido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ para cualquier estado puro $\vert\psi\rangle$ de un par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Intuitivamente hablando, los estados reducidos de $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ contienen exactamente la misma cantidad de aleatoriedad cuando el par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se encuentra en un estado puro. Este hecho se revela mediante la descomposición de Schmidt: en ambos casos, los valores propios de los estados reducidos deben coincidir con los cuadrados de los coeficientes de Schmidt del estado puro.

Equivalencia unitaria de purificaciones

Podemos usar las descomposiciones de Schmidt para demostrar un hecho de importancia fundamental sobre las purificaciones, conocido como la equivalencia unitaria de purificaciones.

Teorema

Equivalencia unitaria de purificaciones: Sean $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sistemas, y sean $\vert\psi\rangle$ y $\vert\phi\rangle$ vectores de estado cuántico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ambos purificando el mismo estado de $\mathsf{X}$. En fórmulas:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

para una matriz de densidad $\rho$ que representa un estado de $\mathsf{X}$. Entonces debe existir una operación unitaria $U$ sobre $\mathsf{Y}$ solamente que transforma la primera purificación en la segunda:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Discutiremos algunas implicaciones de este teorema más adelante en la lección, pero primero veamos cómo se deduce de nuestra discusión anterior sobre descomposiciones de Schmidt.

Nuestra suposición es que $\vert\psi\rangle$ y $\vert\phi\rangle$ son vectores de estado cuántico de un par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que satisfacen la ecuación

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

para una matriz de densidad $\rho$ que representa un estado de $\mathsf{X}$.

Consideremos una descomposición espectral de $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Aquí $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ es una base ortonormal de vectores propios de $\rho.$ Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, obtenemos descomposiciones de Schmidt tanto para $\vert\psi\rangle$ como para $\vert\phi\rangle$ de la siguiente forma.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

En estas expresiones, $r$ es el rango de $\rho$ y $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ y $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ son conjuntos ortonormales de vectores en el espacio correspondiente a $\mathsf{Y}$.

Para dos conjuntos ortonormales cualesquiera en el mismo espacio con el mismo número de elementos, siempre existe una matriz unitaria que transforma el primer conjunto en el segundo, por lo que podemos elegir una matriz unitaria $U$ tal que $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ para $a = 0,\ldots,r-1.$ Para encontrar tal matriz $U$, podemos usar primero el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para extender nuestros conjuntos ortonormales a bases ortonormales $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ y $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$, donde $m$ es la dimensión del espacio correspondiente a $\mathsf{Y}$, y luego tomar

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert$$

Encontramos entonces que

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

lo que completa la demostración.

A continuación se presentan algunos de los muchos ejemplos e implicaciones interesantes relacionados con la equivalencia unitaria de purificaciones. Otro ejemplo de importancia decisiva lo veremos más adelante en la lección en el contexto de la fidelidad, conocido como el teorema de Uhlmann.

Codificación superdensa

En el protocolo de codificación superdensa, Alice y Bob comparten un e-bit, lo que significa que Alice posee un qubit $\mathsf{A},$ Bob posee un qubit $\mathsf{B},$ y juntos el par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se encuentra en el estado de Bell $\vert\phi^{+}\rangle.$ El protocolo describe como Alice puede transformar este estado compartido en uno de los cuatro estados de Bell, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle$ y $\vert\psi^-\rangle,$ aplicando una operación unitaria a su qubit $\mathsf{A}$. Una vez que lo ha hecho, envía $\mathsf{A}$ a Bob, quien entonces realiza una medición sobre el par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ para determinar en cuál estado de Bell se encuentra.

Para los cuatro estados de Bell, el estado reducido del qubit de Bob $\mathsf{B}$ es el estado completamente mezclado.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Por la equivalencia unitaria de purificaciones, concluimos inmediatamente que para cada estado de Bell debe existir una operación unitaria sobre el qubit de Alice $\mathsf{A}$ solamente que transforme $\vert\phi^+\rangle$ en el estado de Bell elegido. Aunque esto no revela los detalles exactos del protocolo, la equivalencia unitaria de purificaciones implica inmediatamente que la codificación superdensa es posible.

También podemos concluir que las generalizaciones de la codificación superdensa a sistemas más grandes siempre son posibles, siempre que reemplacemos los estados de Bell por una base ortonormal arbitraria de purificaciones del estado completamente mezclado.

Implicaciones criptograficas

La equivalencia unitaria de purificaciones tiene implicaciones para la implementación de primitivas criptograficas mediante información cuántica. Por ejemplo, la equivalencia unitaria de purificaciones demuestra que es imposible implementar una forma ideal de compromiso de bit con información cuántica.

La primitiva de compromiso de bit involucra a dos participantes, Alice y Bob (que no confian mutuamente), y se desarrolla en dos fases.

• La primera fase es la fase de compromiso, en la que Alice se compromete con un valor binario $b\in\{0,1\}$. Este compromiso debe ser vinculante, es decir, Alice no puede cambiar de opinion, así como ocultador, es decir, Bob no puede saber a qué valor se ha comprometido Alice.
• La segunda fase es la fase de revelación, en la que el bit comprometido por Alice se da a conocer a Bob y Bob debe estar convencido de que fue efectivamente el valor comprometido el que se revelo.

En términos operativos e intuitivos, la primera fase del compromiso de bit debería funcionar como si Alice escribiera un valor binario en un papel, cerrara el papel en una caja fuerte y entregara la caja fuerte a Bob mientras ella conserva la llave. Alice se ha comprometido con el valor binario escrito en el papel porque la caja fuerte está en posesión de Bob (vinculante), pero como Bob no puede abrir la caja fuerte, no puede saber a qué valor se ha comprometido Alice (ocultador). La segunda fase debería funcionar como si Alice entregara a Bob la llave de la caja fuerte, de modo que el pueda abrirla para revelar el valor al que Alice se había comprometido.

Resulta que es imposible implementar un protocolo de compromiso de bit perfecto utilizando solo información cuántica, ya que esto contradice la equivalencia unitaria de purificaciones. He aquí un resumen de alto nivel de un argumento que muestra esto.

Primero, podemos suponer que Alice y Bob solo realizan operaciones unitarias o introducen nuevos sistemas inicializados mientras se ejecuta el protocolo. El hecho de que todo canal tiene una representación de Stinespring nos permite hacer esta suposición.

Al final de la fase de compromiso del protocolo, Bob posee un sistema compuesto que debe estar en uno de dos estados cuánticos: $\rho_0,$ si Alice se ha comprometido con el valor $0$, y $\rho_1,$ si Alice se ha comprometido con el valor $1$. Para que el protocolo sea perfectamente ocultador, Bob no debería ser capaz de distinguir entre estos dos estados — por tanto debe cumplirse $\rho_0 = \rho_1$. (De lo contrario, existiría una medición que puede distinguir probabilísticamente estos estados.)

Sin embargo, como Alice y Bob solo han utilizado operaciones unitarias, el estado de todos los sistemas involucrados en el protocolo juntos debe ser un estado puro después de la fase de compromiso. En particular, sea $\vert\psi_0\rangle$ el estado puro de todos los sistemas involucrados en el protocolo cuando Alice se compromete con $0$, y $\vert\psi_1\rangle$ el estado puro de todos los sistemas involucrados en el protocolo cuando Alice se compromete con $1$. Escribiendo $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$ para los sistemas (posiblemente compuestos) de Alice y Bob, se tiene

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Dada la condición $\rho_0 = \rho_1$ para un protocolo perfectamente ocultador, observamos que $\vert\psi_0\rangle$ y $\vert\psi_1\rangle$ son purificaciones del mismo estado — y por tanto, por la equivalencia unitaria de purificaciones, debe existir una operación unitaria $U$ sobre $\mathsf{A}$ solamente tal que

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Alice puede por tanto cambiar su compromiso de $0$ a $1$ aplicando $U$ a $\mathsf{A}$, o de $1$ a $0$ aplicando $U^{\dagger},$ y así el protocolo hipotetico considerado falla completamente en ser vinculante.

Teorema de Hughston-Jozsa-Wootters

La última implicación de la equivalencia unitaria de purificaciones que discutimos en esta parte de la lección es el siguiente teorema, conocido como el teorema de Hughston-Jozsa-Wootters. (Esta es en realidad una version ligeramente simplificada del teorema conocido con este nombre.)

Teorema

Hughston-Jozsa-Wootters: Sean $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sistemas y sea $\vert\phi\rangle$ un vector de estado cuántico del par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Sea ademas $N$ un entero positivo arbitrario, $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ un vector de probabilidad y $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ vectores de estado cuántico que representan estados de $\mathsf{X}$, tales que

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Existe una medición (general) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ sobre $\mathsf{Y},$ tal que las dos siguientes afirmaciones son verdaderas cuando esta medición se realiza sobre $\mathsf{Y}$ cuando $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se encuentra en el estado $\vert\phi\rangle$:

1. Cada resultado de medición $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ ocurre con probabilidad $p_a$.
2. Condicionado al resultado de medición $a$, el estado de $\mathsf{X}$ se convierte en $\vert\psi_a\rangle.$

Intuitivamente, este teorema dice que — siempre que tengamos un estado puro de dos sistemas — para cualquier forma de pensar en el estado reducido del primer sistema como combinación convexa de estados puros, existe una medición del segundo sistema que hace que esta forma de pensar se convierta en realidad. Observa que el número $N$ no está necesariamente acotado por el número de estados clásicos de $\mathsf{X}$ o $\mathsf{Y}$. Por ejemplo, $N = 1.000.000$ podría darse mientras $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ son qubits.

Demostraremos este teorema usando la equivalencia unitaria de purificaciones, comenzando con la introducción de un nuevo sistema $\mathsf{Z}$ con conjunto de estados clásicos $\{0,\ldots,N-1\}.$ Consideremos los dos vectores de estado cuántico siguientes del triple $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

El primer vector $\vert\gamma_0\rangle$ es simplemente el vector de estado cuántico dado $\vert\phi\rangle$ tensorizado con $\vert 0\rangle$ para el nuevo sistema $\mathsf{Z}.$ Para el segundo vector $\vert\gamma_1\rangle$, esencialmente tenemos un vector de estado cuántico que haria el teorema trivial — al menos si $\mathsf{Y}$ fuera reemplazado por $\mathsf{Z}$ — ya que una medición en la base estándar sobre $\mathsf{Z}$ obviamente produce cada resultado $a$ con probabilidad $p_a$ y condicionado a este resultado el estado de $\mathsf{X}$ se convierte en $\vert\psi_a\rangle$.

Considerando el par $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ como un único sistema compuesto, sobre el que se puede trazar para obtener $\mathsf{X}$, observamos que hemos identificado dos purificaciones diferentes del estado

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert$$

Concretamente, para la primera:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

y para la segunda:

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Debe existir por tanto una operación unitaria $U$ sobre $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ que satisfaga

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

por la equivalencia unitaria de purificaciones.

Usando está operación unitaria $U$, podemos implementar una medición que satisface los requisitos del teorema, como ilustra el siguiente diagrama. En otras palabras: introducimos el nuevo sistema $\mathsf{Z}$ en el estado $\vert 0\rangle$, aplicamos $U$ a $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$, lo que transforma el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ de $\vert\gamma_0\rangle$ a $\vert\gamma_1\rangle$, y luego medimos $\mathsf{Z}$ con una medición en la base estándar, lo cual — como ya hemos visto — produce el comportamiento deseado.

El rectangulo punteado en la figura representa una implementación de esta medición, que puede describirse como una colección de matrices positivas semidefinidas $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ como sigue.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$