Fidelidad

En esta parte de la lección discutimos la fidelidad entre estados cuánticos, una medida de su similitud — o su "solapamiento" mutuo.

Para dos vectores de estado cuántico, la fidelidad entre los estados puros asociados a estos vectores es igual al valor absoluto del producto interno de los vectores de estado cuántico. Esto proporciona una forma fundamental de medir su similitud: el resultado es un valor entre $0$ y $1,$ donde valores mayores indican mayor similitud. En particular, el valor es cero para estados ortogonales (por definición), mientras que es $1$ para estados que son equivalentes salvo una fase global.

Intuitivamente hablando, la fidelidad puede considerarse como una extensión de esta medida básica de similitud de vectores de estado cuántico a matrices de densidad.

Definición de la fidelidad

Conviene comenzar con una definición de la fidelidad. A primera vista, la siguiente definición puede parecer inusual o enigmatica, y quizas no fácil de manejar. Sin embargo, la función que define resulta estar dotada de muchas propiedades interesantes y varias formulaciones alternativas, lo que la hace mucho más manejable de lo que podría parecer inicialmente.

Definición

Sean $\rho$ y $\sigma$ matrices de densidad que representan estados cuánticos del mismo sistema. La fidelidad entre $\rho$ y $\sigma$ se define como

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Observación

Aunque esta es una definición común, también es habitual definir la fidelidad como el cuadrado de la cantidad aquí definida, que entonces se denomina raíz de la fidelidad. Ninguna definición es correcta o incorrecta — es esencialmente una cuestión de preferencia. Sin embargo, siempre hay que tener cuidado de entender o aclarar cual definición se está utilizando.

Para entender la fórmula de la definición, observa primero que $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ es una matriz positiva semidefinida:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

para $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Como todas las matrices positivas semidefinidas, esta tiene una única raíz cuadrada positiva semidefinida, cuya traza es la fidelidad.

Para cualquier matriz cuadrada $M$, los valores propios de las dos matrices positivas semidefinidas $M^{\dagger} M$ y $M M^{\dagger}$ son siempre los mismos, y por tanto lo mismo se aplica a las raíces cuadradas de estas matrices. Eligiendo $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ y usando el hecho de que la traza de una matriz cuadrada es la suma de sus valores propios, obtenemos

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Aunque no es inmediatamente evidente a partir de la definición, la fidelidad es por tanto simétrica en sus dos argumentos.

Fidelidad en términos de la norma traza

Una forma equivalente de expresar la fidelidad es mediante esta fórmula:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Aquí vemos la norma traza, que encontramos en la lección anterior en el contexto de la discriminación de estados. La norma traza de una matriz (no necesariamente cuadrada) $M$ puede definirse como

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

y aplicando está definición a la matriz $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$, obtenemos la fórmula de la definición.

Una forma alternativa de expresar la norma traza de una matriz (cuadrada) $M$ es mediante esta fórmula.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitaria}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Aquí el maximo se toma sobre todas las matrices unitarias $U$ con el mismo número de filas y columnas que $M$. Aplicar esta fórmula a la situación presente da otra expresión de la fidelidad.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitaria}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelidad para estados puros

Un último punto sobre la definición de la fidelidad es que todo estado puro (como matriz de densidad) es igual a su propia raíz cuadrada, lo que permite simplificar considerablemente la fórmula de la fidelidad cuando uno o ambos estados son puros. Cuando uno de los dos estados es puro, se cumple en particular la siguiente fórmula.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Cuando ambos estados son puros, la fórmula se simplifica al valor absoluto del producto interno de los vectores de estado cuántico correspondientes, como se menciono al inicio de la sección.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Propiedades básicas de la fidelidad

La fidelidad tiene muchas propiedades notables y varias formulaciones alternativas. A continuación se enumeran algunas propiedades básicas sin demostración.

1. Para cualesquiera dos matrices de densidad $\rho$ y $\sigma$ del mismo tamaño, la fidelidad $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ está entre cero y uno: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Se tiene $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ si y solo si $\rho$ y $\sigma$ tienen imagenes ortogonales (de modo que pueden discriminarse sin error), y $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ si y solo si $\rho = \sigma.$
2. La fidelidad es multiplicativa, es decir, la fidelidad entre dos estados producto es igual al producto de las fidelidades individuales: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. La fidelidad entre estados no decrece bajo la acción de cualquier canal. Es decir: si $\rho$ y $\sigma$ son matrices de densidad y $\Phi$ es un canal que puede tomar estos dos estados como entrada, entonces necesariamente $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Las desigualdades de Fuchs-van de Graaf establecen una relación estrecha (aunque no exacta) entre la fidelidad y la distancia de traza: para cualesquiera dos estados $\rho$ y $\sigma$ se tiene $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

La última propiedad puede representarse en forma de figura:

Concretamente, para cualquier elección de estados $\rho$ y $\sigma$ del mismo sistema, la línea horizontal que intersecta el eje $y$ en $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ y la línea vertical que intersecta el eje $x$ en $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ deben cruzarse dentro de la región gris, delimitada por debajo por la línea $y = 1-x$ y por arriba por el círculo unitario. La zona más interesante de esta figura desde un punto de vista práctico es la esquina superior izquierda de la región gris: cuando la fidelidad entre dos estados está cerca de uno, su distancia de traza está cerca de cero, y viceversa.

Lema de medición suave

A continuación consideramos una afirmación simple pero importante, el lema de medición suave, que conecta la fidelidad con las mediciones no destructivas. Es un lema muy útil que aparece de vez en cuando, y también es notable porque la definición aparentemente difícil de manejar de la fidelidad hace que el lema sea de hecho muy fácil de demostrar.

La situación de partida es la siguiente. Sea $\mathsf{X}$ un sistema en el estado $\rho$ y $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ una colección de matrices positivas semidefinidas que representan una medición general de $\mathsf{X}$. Supongamos que cuando esta medición se realiza sobre el sistema $\mathsf{X}$ en el estado $\rho$, uno de los resultados es muy probable. Concretamente, suponemos que el resultado probable es $0$, y en particular suponemos que

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

para un número real positivo pequeño $\varepsilon > 0$.

El lema de medición suave establece que, bajo estas suposiciones, la medición no destructiva obtenida a partir de $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ mediante el teorema de Naimark causa solo una perturbación pequeña de $\rho$ cuando se observa el resultado probable $0$.

Concretamente, el lema afirma que el cuadrado de la fidelidad entre $\rho$ y el estado que obtenemos de la medición no destructiva condicionado al resultado $0$ es mayor que $1-\varepsilon$.

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Para demostrar esto, necesitamos una afirmación básica sobre las mediciones. Las matrices de medición $P_0, \ldots, P_{m-1}$ son positivas semidefinidas y suman la identidad, lo que nos permite concluir que todos los valores propios de $P_0$ son números reales entre $0$ y $1$. Esto se sigue del hecho de que para cualquier vector unitario $\vert\psi\rangle$ el valor $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ para cada $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ es un número real no negativo (porque cada $P_a$ es positiva semidefinida), junto con que estos números suman uno.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Por tanto $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ es siempre un número real entre $0$ y $1,$ y esto implica que cada valor propio de $P_0$ es un número real entre $0$ y $1$, porque podemos elegir $\vert\psi\rangle$ específicamente como vector propio unitario del valor propio en cuestión.

A partir de está observación, podemos concluir la siguiente desigualdad para cualquier matriz de densidad $\rho$.

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

En detalle: partiendo de una descomposición espectral

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

obtenemos

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

del hecho de que $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ es un número real no negativo y $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ para cada $k = 0,\ldots,n-1$. (Elevar al cuadrado números entre $0$ y $1$ nunca puede hacerlos más grandes.)

Ahora podemos demostrar el lema de medición suave evaluando la fidelidad y luego usando nuestra desigualdad. Primero, simplificamos la expresión que nos interesa.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Observa que todo son igualdades — no hemos utilizado nuestra desigualdad (ni ninguna otra) hasta este punto, por lo que tenemos una expresión exacta de la fidelidad. Ahora podemos usar nuestra desigualdad para concluir

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

y por tanto, elevando ambos lados al cuadrado,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorema de Uhlmann

Para concluir la lección, consideramos el teorema de Uhlmann, una afirmación fundamental sobre la fidelidad que la conecta con el concepto de purificación. Lo que el teorema dice en palabras sencillas es que la fidelidad entre cualesquiera dos estados cuánticos es igual al maximo producto interno (en valor absoluto) entre dos purificaciones de estos estados.

Teorema

Teorema de Uhlmann: Sean $\rho$ y $\sigma$ matrices de densidad que representan estados de un sistema $\mathsf{X}$, y sea $\mathsf{Y}$ un sistema con al menos tantos estados clásicos como $\mathsf{X}.$ La fidelidad entre $\rho$ y $\sigma$ viene dada por

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

donde el maximo se toma sobre todos los vectores de estado cuántico $\vert\phi\rangle$ y $\vert\psi\rangle$ de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Podemos demostrar este teorema usando la equivalencia unitaria de purificaciones — pero no es del todo sencillo, y usaremos un truco en el proceso.

Primero, consideremos descomposiciones espectrales de las dos matrices de densidad $\rho$ y $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Las dos colecciones $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ y $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ son bases ortonormales de vectores propios de $\rho$ y $\sigma$ respectivamente, y $p_0,\ldots,p_{n-1}$ y $q_0,\ldots,q_{n-1}$ son los valores propios correspondientes.

Definimos ademas $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ y $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ como los vectores obtenidos tomando el conjugado complejo de cada entrada de $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ y $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle$ respectivamente. Es decir, para un vector arbitrario $\vert w\rangle$ podemos definir $\vert\overline{w}\rangle$ según la siguiente ecuación para cada $c\in\{0,\ldots,n-1\}$.

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Observa que para cualesquiera dos vectores $\vert u\rangle$ y $\vert v\rangle$ se tiene $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Más en general, para cualquier matriz cuadrada $M$ se cumple la siguiente fórmula.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

De esto se sigue que $\vert u\rangle$ y $\vert v\rangle$ son ortogonales si y solo si $\vert \overline{u}\rangle$ y $\vert \overline{v}\rangle$ son ortogonales, y por tanto tanto $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ como $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ son bases ortonormales.

Consideremos ahora los dos vectores $\vert\phi\rangle$ y $\vert\psi\rangle$ siguientes, que son purificaciones de $\rho$ y $\sigma$ respectivamente.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Este es el truco mencionado anteriormente. Nada indica explícitamente en este punto que sea buena idea hacer estas elecciones particulares de purificaciones de $\rho$ y $\sigma$. Pero son purificaciones válidas, y las conjugaciones complejas permitirán que el álgebra funcione como necesitamos.

Por la equivalencia unitaria de purificaciones, sabemos que cualquier purificación de $\rho$ para el par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ debe tener la forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ para una matriz unitaria $U$, y de la misma forma cualquier purificación de $\sigma$ para el par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ debe tener la forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ para una matriz unitaria $V$. El producto interno de dos tales purificaciones puede simplificarse como sigue.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Dado que $U$ y $V$ varian sobre todas las matrices unitarias posibles, $(U^{\dagger} V)^T$ también varia sobre todas las matrices unitarias posibles. Maximizar el valor absoluto del producto interno de dos purificaciones de $\rho$ y $\sigma$ da por tanto la siguiente ecuación.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitarias}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitaria}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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