Simulación cuántica

nota

Yukio Kawashima (30 de mayo de 2024)

Descarga el PDF de la conferencia original. Ten en cuenta que algunos fragmentos de código podrían quedar obsoletos, ya que son imágenes estáticas.

El tiempo aproximado de QPU para ejecutar este experimento es de 7 segundos.

(Este notebook está basado en gran medida en un notebook de tutorial para Qiskit Algorithms, actualmente obsoleto.)

1. Introducción

Como técnica de evolución en tiempo real, la trotterización consiste en la aplicación sucesiva de una puerta cuántica o varias puertas, elegidas para aproximar la evolución temporal de un sistema durante un intervalo de tiempo. A partir de la ecuación de Schrödinger, la evolución temporal de un sistema inicialmente en el estado $\vert\psi(0)\rangle$ toma la forma:

$$\vert \psi(t) \rangle = e^{-i H t} \vert \psi(0) \rangle \text{,}$$

donde $H$ es el hamiltoniano independiente del tiempo que gobierna el sistema. Consideramos un hamiltoniano que puede escribirse como una suma ponderada de términos de Pauli $H=\sum_j a_j P_j$, donde $P_j$ representa un producto tensorial de términos de Pauli actuando sobre $n$ qubits. En particular, estos términos de Pauli pueden conmutar entre sí, o pueden no hacerlo. Dado un estado en el tiempo $t=0$, ¿cómo obtenemos el estado del sistema en un tiempo posterior $|\psi(t)\rangle$ usando un ordenador cuántico? La exponencial de un operador puede entenderse más fácilmente a través de su serie de Taylor:

$$e^{-i H t} = 1-iHt-\frac{1}{2}H^2t^2+...$$

Algunas exponenciales muy básicas, como $e^{iZ}$, pueden implementarse fácilmente en ordenadores cuánticos usando un conjunto compacto de puertas cuánticas. La mayoría de los hamiltonianos de interés no tendrán un único término, sino muchos. Observa lo que ocurre cuando $H = H_1+H_2$:

$$e^{-i H t} = 1-i(H_1+H_2)t-\frac{1}{2}(H_1+H_2)^2t^2+...$$

Cuando $H_1$ y $H_2$ conmutan, tenemos el caso familiar (que también es válido para números y para las variables $a$ y $b$ a continuación):

$$e^{-i (a+b) t} = e^{-i a t}e^{-i b t}$$

Pero cuando los operadores no conmutan, los términos no pueden reordenarse en la serie de Taylor para simplificar de esta manera. Por eso, expresar hamiltonianos complejos mediante puertas cuánticas representa un desafío.

Una solución consiste en considerar tiempos $t$ muy pequeños, de modo que el término de primer orden en la expansión de Taylor domine. Bajo esa suposición:

$$e^{-i (H_1+H_2) t} \approx 1-i(H_1+H_2)t \approx (1-i H_1 t)(1-i H_2 t) \approx e^{-i H_1 t}e^{-i H_2 t}$$

Por supuesto, puede ser necesario evolucionar el estado durante un tiempo más largo. Esto se logra usando muchos pasos pequeños de tiempo. Este proceso se denomina trotterización:

$$\vert \psi(t) \rangle \approx \left(\prod_j e^{-i a_j P_j t/r} \right)^r \vert\psi(0) \rangle \text{,}$$

Aquí $t/r$ es el intervalo de tiempo (paso de evolución) que estamos eligiendo. Como resultado, se crea una puerta que se aplica $r$ veces. Un paso de tiempo más pequeño conduce a una aproximación más precisa. Sin embargo, esto también produce circuitos más profundos que, en la práctica, acumulan más errores (una preocupación no despreciable en los dispositivos cuánticos de corto plazo).

Hoy estudiaremos la evolución temporal del modelo de Ising en redes lineales de $N=2$ y $N=6$ sitios. Estas redes consisten en un arreglo de espines $\sigma_i$ que interactúan únicamente con sus vecinos más cercanos. Estos espines pueden tener dos orientaciones: $\uparrow$ y $\downarrow$, que corresponden a una magnetización de $+1$ y $-1$ respectivamente.

$$H = - J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} - h \sum_{i=0}^{N-1} X_i \text{,}$$

donde $J$ describe la energía de interacción y $h$ la magnitud de un campo externo (en la dirección x en la expresión anterior, aunque la modificaremos). Escribamos esta expresión usando matrices de Pauli, considerando que el campo externo forma un ángulo $\alpha$ respecto a la dirección transversal:

$$H = -J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} -h \sum_{i=0}^{N-1} (\sin\alpha Z_i + \cos\alpha X_i) \text{.}$$

Este hamiltoniano es útil porque nos permite estudiar fácilmente los efectos de un campo externo. En la base computacional, el sistema se codificará de la siguiente manera:

Estado cuántico	Representación de espín
$\lvert 0 0 0 0 \rangle$	$\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\lvert 1 0 0 0 \rangle$	$\downarrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\ldots$	$\ldots$
$\lvert 1 1 1 1 \rangle$	$\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow$

Comenzaremos investigando la evolución temporal de este sistema cuántico. Más concretamente, visualizaremos la evolución temporal de ciertas propiedades del sistema, como la magnetización.

1.1 Requisitos

Antes de comenzar este tutorial, asegúrate de tener instalado lo siguiente:

• Qiskit SDK v1.2 o posterior ( pip install qiskit )
• Qiskit Runtime v0.30 o posterior ( pip install qiskit-ibm-runtime )
• Numpy v1.24.1 o posterior < 2 ( pip install numpy )

1.2 Importar las bibliotecas

Ten en cuenta que algunas bibliotecas que pueden ser útiles (MatrixExponential, QDrift) están incluidas aunque no se usan en este notebook. ¡Puedes probarlas si tienes tiempo!

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Check the version of Qiskit
import qiskit

qiskit.__version__

'2.0.2'

# Import the qiskit library
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
import warnings

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import PauliEvolutionGate
from qiskit.primitives import StatevectorEstimator
from qiskit.quantum_info import Statevector, SparsePauliOp
from qiskit.synthesis import (
    SuzukiTrotter,
    LieTrotter,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2

warnings.filterwarnings("ignore")

2. Mapeando tu problema

2.1 Definición del hamiltoniano de Ising de campo transversal

Aquí consideramos el modelo de Ising de campo transversal en 1D.

Primero, crearemos una función que recibe los parámetros del sistema $N$, $J$, $h$ y $\alpha$, y devuelve nuestro hamiltoniano como un SparsePauliOp. Un SparsePauliOp es una representación dispersa de un operador en términos de términos de Pauli ponderados.

def get_hamiltonian(nqubits, J, h, alpha):
    # List of Hamiltonian terms as 3-tuples containing
    # (1) the Pauli string,
    # (2) the qubit indices corresponding to the Pauli string,
    # (3) the coefficient.
    ZZ_tuples = [("ZZ", [i, i + 1], -J) for i in range(0, nqubits - 1)]
    Z_tuples = [("Z", [i], -h * np.sin(alpha)) for i in range(0, nqubits)]
    X_tuples = [("X", [i], -h * np.cos(alpha)) for i in range(0, nqubits)]

    # We create the Hamiltonian as a SparsePauliOp, via the method
    # `from_sparse_list`, and multiply by the interaction term.
    hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [*ZZ_tuples, *Z_tuples, *X_tuples], num_qubits=nqubits
    )
    return hamiltonian.simplify()

Definir el hamiltoniano

El sistema que consideramos ahora tiene un tamaño de $N=6$, $J=0.2$, $h=1.2$ y $\alpha=\frac{\pi}{8.0}$ como ejemplo.

n_qubits = 6

hamiltonian = get_hamiltonian(nqubits=n_qubits, J=0.2, h=1.2, alpha=np.pi / 8.0)
hamiltonian

SparsePauliOp(['IIIIZZ', 'IIIZZI', 'IIZZII', 'IZZIII', 'ZZIIII', 'IIIIIZ', 'IIIIZI', 'IIIZII', 'IIZIII', 'IZIIII', 'ZIIIII', 'IIIIIX', 'IIIIXI', 'IIIXII', 'IIXIII', 'IXIIII', 'XIIIII'],
              coeffs=[-0.2       +0.j, -0.2       +0.j, -0.2       +0.j, -0.2       +0.j,
 -0.2       +0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j,
 -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -1.10865544+0.j,
 -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j,
 -1.10865544+0.j])

2.2 Establecer los parámetros de la simulación de evolución temporal

Aquí consideraremos tres técnicas de trotterización diferentes:

• Lie–Trotter (primer orden)
• Suzuki–Trotter de segundo orden
• Suzuki–Trotter de cuarto orden

Las dos últimas se usarán en el ejercicio y en el apéndice.

num_timesteps = 60
evolution_time = 30.0
dt = evolution_time / num_timesteps
product_formula_lt = LieTrotter()
product_formula_st2 = SuzukiTrotter(order=2)
product_formula_st4 = SuzukiTrotter(order=4)

2.3 Preparar el circuito cuántico 1 (estado inicial)

Crea un estado inicial. Aquí comenzaremos con una configuración de espines $\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\uparrow$.

initial_circuit = QuantumCircuit(n_qubits)
initial_circuit.prepare_state("001100")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit.decompose(reps=1).draw("mpl")

2.4 Preparar el circuito cuántico 2 (circuito único para la evolución temporal)

Aquí construimos un circuito para un único paso de tiempo usando Lie–Trotter.

La fórmula producto de Lie (primer orden) está implementada en la clase LieTrotter. Una fórmula de primer orden consiste en la aproximación descrita en la introducción, donde la exponencial matricial de una suma se aproxima por un producto de exponenciales matriciales:

$$e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1} e^{H_2}$$

Como se menciónó anteriormente, los circuitos muy profundos llevan a la acumulación de errores y causan problemas en los ordenadores cuánticos modernos. Como las puertas de dos qubits tienen tasas de error más altas que las puertas de un solo qubit, una cantidad de particular interés es la profundidad del circuito de dos qubits. Lo que realmente importa es la profundidad del circuito de dos qubits después de la transpilación (ya que ese es el circuito que ejecuta el ordenador cuántico). Pero adquiramos el hábito de contar las operaciones de este circuito, incluso ahora usando el simulador.

single_step_evolution_gates_lt = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_lt
)
single_step_evolution_lt = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_lt.append(
    single_step_evolution_gates_lt, single_step_evolution_lt.qubits
)

print(
    f"""
Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_lt.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).draw("mpl", fold=-1)

Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: 17
Gate count: 27
Nonlocal gate count: 10
Gate breakdown: U3: 12, CX: 10, U1: 5

2.5 Establecer los operadores a medir

Definamos un operador de magnetización $\sum_i \langle Z_i \rangle / N$ y un operador de correlación media de espines $\sum_i \langle Z_i Z_{i+1} \rangle/ (N - 1)$.

magnetization = (
    SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [("Z", [i], 1.0) for i in range(0, n_qubits)], num_qubits=n_qubits
    )
    / n_qubits
)
correlation = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("ZZ", [i, i + 1], 1.0) for i in range(0, n_qubits - 1)], num_qubits=n_qubits
) / (n_qubits - 1)
print("magnetization : ", magnetization)
print("correlation : ", correlation)

magnetization :  SparsePauliOp(['IIIIIZ', 'IIIIZI', 'IIIZII', 'IIZIII', 'IZIIII', 'ZIIIII'],
              coeffs=[0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j,
 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j])
correlation :  SparsePauliOp(['IIIIZZ', 'IIIZZI', 'IIZZII', 'IZZIII', 'ZZIIII'],
              coeffs=[0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j])

2.6 Realizar la simulación de evolución temporal

Monitorizaremos la energía (valor esperado del hamiltoniano), la magnetización (valor esperado del operador de magnetización) y la correlación media de espines (valor esperado del operador de correlación media de espines). El StatevectorEstimator (EstimatorV2) de Qiskit estima los valores esperados de los observables, $\langle\psi\vert\hat{O}\vert\psi\rangle$.

# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)
# Initiate Estimator (V2)
estimator = StatevectorEstimator()
# Set number of shots
shots = 10000
# Translate the precision required from the number of shots
precision = np.sqrt(1 / shots)
energy_list = []
mag_list = []
corr_list = []
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator.run(
    [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])], precision=precision
)
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
energy_list.append(evs[0])
mag_list.append(evs[1])
corr_list.append(evs[2])
# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_gates_lt, evolved_state.qubits)
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator.run(
        [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])],
        precision=precision,
    )
    # Retrieve results (expectation values)
    evs = job.result()[0].data.evs
    energy_list.append(evs[0])
    mag_list.append(evs[1])
    corr_list.append(evs[2])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
energy_array = np.array(energy_list)
mag_array = np.array(mag_list)
corr_array = np.array(corr_list)

2.7 Graficar la evolución temporal de los observables

Graficamos los valores esperados que medimos en función del tiempo.

fig, axes = plt.subplots(3, sharex=True)
times = np.linspace(0, evolution_time, num_timesteps + 1)  # includes initial state
axes[0].plot(
    times,
    energy_array,
    label="First order",
    marker="x",
    c="darkmagenta",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[1].plot(
    times, mag_array, label="First order", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[2].plot(
    times, corr_array, label="First order", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[0].set_ylabel("Energy")
axes[1].set_ylabel("Magnetization")
axes[2].set_ylabel("Mean spin correlation")
axes[2].set_xlabel("Time")
fig.suptitle("Observable evolution")

Text(0.5, 0.98, 'Observable evolution')

3. Ejercicio 1. Realizar la simulación usando Suzuki–Trotter de segundo orden

Ahora intentemos realizar la simulación con Suzuki–Trotter de segundo orden, siguiendo el ejemplo de Lie–Trotter mostrado arriba.

El Suzuki–Trotter de segundo orden se puede usar en Qiskit mediante la clase SuzukiTrotter. Con esta fórmula, la descomposición de segundo orden es:

$$e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1/2}e^{H_2}e^{H_1/2}$$

3.1 Construir un circuito para un solo paso temporal

Usa product_formula_st2 (SuzukiTrotter(order=2)) y construye un circuito para un solo paso temporal con Suzuki–Trotter de segundo orden. Además, cuenta el número de puertas y la profundidad del circuito, y compara con Lie–Trotter.

# Modify the line below (Use PauliEvolutionGate)
single_step_evolution_gates_st2 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_st2
)
single_step_evolution_st2 = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_st2.append(
    single_step_evolution_gates_st2, single_step_evolution_st2.qubits
)
# Let us print some stats
print(
    f"""
Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_st2.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_st2.decompose(reps=2).draw("mpl", fold=-1)

Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: 34
Gate count: 53
Nonlocal gate count: 20
Gate breakdown: U3: 23, CX: 20, U1: 10

3.2 Realizar la simulación de evolución temporal

Realiza la evolución temporal con Suzuki–Trotter de segundo orden.

# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)
# Initiate Estimator (V2)
estimator = StatevectorEstimator()
# Set number of shots
shots = 10000
# Translate the precision required from the number of shots
precision = np.sqrt(1 / shots)
energy_list_st2 = []
mag_list_st2 = []
corr_list_st2 = []
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator.run(
    [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])], precision=precision
)
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
energy_list_st2.append(evs[0])
mag_list_st2.append(evs[1])
corr_list_st2.append(evs[2])
# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_gates_st2, evolved_state.qubits)
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator.run(
        [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])],
        precision=precision,
    )
    # Retrieve results (expectation values)
    evs = job.result()[0].data.evs
    energy_list_st2.append(evs[0])
    mag_list_st2.append(evs[1])
    corr_list_st2.append(evs[2])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
energy_array_st2 = np.array(energy_list_st2)
mag_array_st2 = np.array(mag_list_st2)
corr_array_st2 = np.array(corr_list_st2)

3.3 Graficar los resultados de Suzuki–Trotter de segundo orden

axes[0].plot(
    times,
    energy_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[1].plot(
    times,
    mag_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[2].plot(
    times,
    corr_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)

# Replace the legend
# legend.remove()
legend = fig.legend(
    *axes[0].get_legend_handles_labels(),
    bbox_to_anchor=(1.0, 0.5),
    loc="center left",
    framealpha=0.5,
)
fig

3.4 Comparar con los resultados exactos

Los datos a continuación son los resultados exactos precalculados desde la computadora clásica.

exact_times = np.array(
    [
        0.0,
        0.3,
        0.6,
        0.8999999999999999,
        1.2,
        1.5,
        1.7999999999999998,
        2.1,
        2.4,
        2.6999999999999997,
        3.0,
        3.3,
        3.5999999999999996,
        3.9,
        4.2,
        4.5,
        4.8,
        5.1,
        5.3999999999999995,
        5.7,
        6.0,
        6.3,
        6.6,
        6.8999999999999995,
        7.199999999999999,
        7.5,
        7.8,
        8.1,
        8.4,
        8.7,
        9.0,
        9.299999999999999,
        9.6,
        9.9,
        10.2,
        10.5,
        10.799999999999999,
        11.1,
        11.4,
        11.7,
        12.0,
        12.299999999999999,
        12.6,
        12.9,
        13.2,
        13.5,
        13.799999999999999,
        14.1,
        14.399999999999999,
        14.7,
        15.0,
        15.299999999999999,
        15.6,
        15.899999999999999,
        16.2,
        16.5,
        16.8,
        17.099999999999998,
        17.4,
        17.7,
        18.0,
        18.3,
        18.599999999999998,
        18.9,
        19.2,
        19.5,
        19.8,
        20.099999999999998,
        20.4,
        20.7,
        21.0,
        21.3,
        21.599999999999998,
        21.9,
        22.2,
        22.5,
        22.8,
        23.099999999999998,
        23.4,
        23.7,
        24.0,
        24.3,
        24.599999999999998,
        24.9,
        25.2,
        25.5,
        25.8,
        26.099999999999998,
        26.4,
        26.7,
        27.0,
        27.3,
        27.599999999999998,
        27.9,
        28.2,
        28.5,
        28.799999999999997,
        29.099999999999998,
        29.4,
        29.7,
        30.0,
    ]
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        0.12290448295710298,
        0.012897784654866427,
        0.02859435620982225,
        0.12895847695150875,
        0.13629536955485938,
        0.05394621059822597,
        0.02298040588184324,
        0.07036499900317271,
        0.11706448623132719,
        0.10435285842074606,
        0.055721236329964965,
        0.04676334743672697,
        0.08417924910022263,
        0.10611161955304965,
        0.089304171047322,
        0.06098589533081194,
        0.06314519797488709,
        0.09431492621892917,
        0.09667836915967139,
        0.0651298357290882,
        0.05176966009147416,
        0.06727229484222669,
        0.08871788283607947,
        0.09907054249093444,
        0.09785167773502176,
        0.09277216140054353,
        0.07520999642062785,
        0.05894392248382922,
        0.07236135251622376,
        0.08608284185200156,
        0.07282922961856123,
    ]
)

axes[0].plot(exact_times, exact_energy, c="k", ls=":", label="Exact")
axes[1].plot(exact_times, exact_magnetization, c="k", ls=":", label="Exact")
axes[2].plot(exact_times, exact_correlation, c="k", ls=":", label="Exact")
# Replace the legend
legend.remove()
# Select the labels of only the first axis
legend = fig.legend(
    *axes[0].get_legend_handles_labels(),
    bbox_to_anchor=(1.0, 0.5),
    loc="center left",
    framealpha=0.5,
)
fig.tight_layout()
fig

4. Ejecución en el hardware cuántico

A continuación, ejecutamos la simulación de evolución temporal en el hardware cuántico. Trabajaremos con un problema más pequeño, con un tamaño de red N=2. Variamos el parámetro $\alpha$ y observamos las diferencias en la dinámica de la función de onda.

4.1 Paso 1. Mapear las entradas clásicas a un problema cuántico

Elige la configuración inicial de la simulación:

n_qubits_2 = 2
dt_2 = 1.6
product_formula = LieTrotter(reps=1)

Luego establece el circuito inicial:

La configuración inicial de espines será "abajo-arriba"

# We prepare an initial state ↓↑ (10).
# Note that Statevector and SparsePauliOp interpret the qubits from right to left
initial_circuit_2 = QuantumCircuit(n_qubits_2)
initial_circuit_2.prepare_state("10")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit_2.decompose(reps=1).draw("mpl")

Ahora calcula el valor de referencia usando un simulador de vector de estado ideal.

bar_width = 0.1
# initial_state = Statevector.from_label("10")
final_time = 1.6
eps = 1e-5

# We create the list of angles in radians, with a small epsilon
# the exactly longitudinal field, which would present no dynamics at all
alphas = np.linspace(-np.pi / 2 + eps, np.pi / 2 - eps, 5)

for i, alpha in enumerate(alphas):
    evolved_state_2 = QuantumCircuit(initial_circuit_2.num_qubits)
    evolved_state_2.append(initial_circuit_2, evolved_state_2.qubits)
    hamiltonian_2 = get_hamiltonian(nqubits=2, J=0.2, h=1.0, alpha=alpha)
    single_step_evolution_gates_2 = PauliEvolutionGate(
        hamiltonian_2, dt_2, synthesis=product_formula
    )
    evolved_state_2.append(single_step_evolution_gates_2, evolved_state_2.qubits)
    evolved_state_2 = Statevector(evolved_state_2)
    # Dictionary of probabilities
    amplitudes_dict = evolved_state_2.probabilities_dict()
    labels = list(amplitudes_dict.keys())
    values = list(amplitudes_dict.values())
    # Convert angle to degrees
    alpha_str = f"$\\alpha={int(np.round(alpha * 180 / np.pi))}^\\circ$"
    plt.bar(np.arange(4) + i * bar_width, values, bar_width, label=alpha_str, alpha=0.7)

plt.xticks(np.arange(4) + 2 * bar_width, labels)
plt.xlabel("Measurement")
plt.ylabel("Probability")
plt.suptitle(
    f"Measurement probabilities at $t={final_time}$, for various field angles $\\alpha$\n"
    f"Initial state: 10, Linear lattice of size $L=2$"
)
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x11c816590>

Hemos preparado un sistema inicialmente con una secuencia de espines $\downarrow\uparrow$, lo que corresponde a $\vert\psi(0)\rangle = \vert10\rangle$. Tras dejarlo evolucionar durante $t=1.6$ bajo un campo transversal ($\alpha=0^\circ$), tenemos casi garantizado medir $\uparrow\downarrow$, es decir, producir un intercambio de espines. (Nótese que las etiquetas se interpretan de derecha a izquierda). Si el campo es longitudinal ($\alpha=\pm90^\circ$), no habrá evolución, por lo que mediremos el sistema tal como fue preparado inicialmente, $\downarrow\uparrow$. Con ángulos intermedios, en $\alpha=\pm45^\circ$, podremos medir todas las combinaciones con diferentes probabilidades, siendo el intercambio de espines el más probable, con una probabilidad del 67%.

Construir el circuito para el experimento en HW

circuit_list = []
for i, alpha in enumerate(alphas):
    evolved_state_2 = QuantumCircuit(initial_circuit_2.num_qubits)
    evolved_state_2.append(initial_circuit_2, evolved_state_2.qubits)
    hamiltonian_2 = get_hamiltonian(nqubits=2, J=0.2, h=1.0, alpha=alpha)
    single_step_evolution_gates_2 = PauliEvolutionGate(
        hamiltonian_2, dt_2, synthesis=product_formula
    )
    evolved_state_2.append(single_step_evolution_gates_2, evolved_state_2.qubits)
    evolved_state_2.measure_all()
    circuit_list.append(evolved_state_2)

4.2 Paso 2. Optimizar para el hardware objetivo

Especificamos un backend.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
backend.name

'ibm_strasbourg'

Luego transpilamos el circuito para el backend seleccionado.

pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=3)
circuit_isa = pm.run(circuit_list)

Revisa el circuito.

circuit_isa[1].draw("mpl", idle_wires=False)

4.3 Paso 3. Ejecutar con las primitivas de Qiskit Runtime

La primitiva Sampler (V2) de Qiskit proporciona los conteos de las cadenas de bits medidas.

sampler = SamplerV2(mode=backend)
job = sampler.run(circuit_isa)
job_id = job.job_id()
print("job id:", job_id)

job id: d13pswfmya70008ek070

Guarda los resultados

results = job.result()

4.4 Paso 4. Post-procesar los resultados

Construye el histograma de las cadenas de bits, lo que corresponde a analizar la función de onda, y compáralo con los valores ideales mostrados anteriormente.

list_temp = ["00", "01", "10", "11"]

for i, alpha in enumerate(alphas):
    # Dictionary of probabilities
    amplitudes_dict = results[i].data.meas.get_counts()
    values = []
    for str_temp in list_temp:
        values.append(
            amplitudes_dict[str_temp] / 4096.0
        )  # divided by default number of shots
    # Convert angle to degrees
    alpha_str = f"$\\alpha={int(np.round(alpha * 180 / np.pi))}^\\circ$"
    plt.bar(np.arange(4) + i * bar_width, values, bar_width, label=alpha_str, alpha=0.7)

plt.xticks(np.arange(4) + 2 * bar_width, labels)
plt.xlabel("Measurement")
plt.ylabel("Probabilities")
plt.suptitle(
    f"Measurement probabilities at $t={final_time}$, for various field angles $\\alpha$\n"
    f"Initial state: 10, Linear lattice of size $L=2$"
)
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x11d7af990>

A continuación mostramos un ejemplo para construir un circuito usando Suzuki–Trotter de orden superior (cuarto orden). Ahora intenta construir una simulación de circuito con Suzuki–Trotter de cuarto orden siguiendo los ejemplos mostrados anteriormente.

El Suzuki–Trotter de cuarto orden puede usarse en Qiskit mediante la clase SuzukiTrotter. El cuarto orden puede evaluarse usando la siguiente relación de recurrencia. Nótese que el orden de Suzuki–Trotter se denota como "2k" en las siguientes ecuaciones.

$$\hat{U}_{ST(2k)}\left(t\right) = \left[ \hat{U}_{ST(2k-2)}\left(p_k t\right) \right]^2 \hat{U}_{ST(2k-2)}\left( (1- 4 p_k) t\right)\left[ \hat{U}_{ST(2k-2)}\left(p_k t\right) \right]^2$$ $$p_k = 1 / \left(4-4^{\frac{1}{2k-1}}\right)$$

Construir un circuito para un único paso temporal

Usa product_formula_st4 (SuzukiTrotter(order=4)) y construye un circuito para un único paso temporal usando Suzuki–Trotter de cuarto orden. Además, cuenta el número de puertas y la profundidad del circuito y compáralos con los de Lie–Trotter y Suzuki–Trotter de segundo orden.

# Modify the line below (Use PauliEvolutionGate)
single_step_evolution_gates_st4 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_st4
)
single_step_evolution_st4 = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_st4.append(
    single_step_evolution_gates_st4, single_step_evolution_st4.qubits
)
# Let us print some stats
print(
    f"""
Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_st4.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_st4.decompose(reps=2).draw("mpl", fold=-1)

Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: 170
Gate count: 265
Nonlocal gate count: 100
Gate breakdown: U3: 115, CX: 100, U1: 50

# Check Qiskit version
import qiskit

qiskit.__version__

'2.0.2'