Teorema del umbral

El último tema de discusión de la lección es un teorema muy importante conocido como el teorema del umbral. Aquí hay una formulación algo informal de este teorema.

Teorema

El teorema del umbral: Un circuito cuántico de tamaño $N$ puede implementarse con alta precisión mediante un circuito cuántico ruidoso, siempre que la probabilidad de error en cada ubicación del circuito ruidoso esté por debajo de un umbral fijo distinto de cero $p_{\text{th}} > 0$. El tamaño del circuito ruidoso escala como $O(N \log^c(N))$ para una constante positiva $c.$

En términos sencillos, el teorema dice: si tenemos un circuito cuántico arbitrario con $N$ puertas, donde $N$ puede ser arbitrariamente grande, entonces es posible implementar este circuito con alta precisión usando un circuito cuántico ruidoso, siempre que el ruido esté por debajo de un cierto umbral que es independiente de $N$. Además, esto no es demasiado costoso: el tamaño del circuito ruidoso necesario es del orden de $N$ multiplicado por una potencia constante del logaritmo de $N$.

Para formular el teorema formalmente, sería necesario especificar el modelo de ruido, lo cual no se hace en esta lección. Puede demostrarse, por ejemplo, para el modelo de ruido estocástico independiente mencionado anteriormente — en el que los errores ocurren independientemente en cada ubicación posible del circuito con una probabilidad estrictamente menor que el umbral —, pero también puede demostrarse para modelos de ruido más generales en los que son posibles correlaciones entre errores.

Este es un resultado teórico, y el método de demostración más típico no se traduce necesariamente en un enfoque práctico, pero tiene gran importancia práctica. En particular, muestra que no existe un obstáculo fundamental para realizar computaciones cuánticas con componentes ruidosos; siempre que la tasa de error de estos componentes esté por debajo del umbral, pueden usarse para construir circuitos cuánticos confiables de tamaño arbitrario. Una forma alternativa de describir su importancia: si el teorema no fuera cierto, sería difícil imaginar que la computación cuántica a gran escala pudiera convertirse algún día en realidad.

Hay muchos detalles técnicos en las demostraciones formales de este teorema que no se comunican aquí — pero las ideas esenciales pueden explicarse a nivel intuitivo. Para hacer esta explicación lo más simple posible, supongamos que usamos el código de Steane de $7$ qubits para la corrección de errores. Esta sería una elección poco práctica para una implementación física real — lo que se reflejaría en un umbral $p_{\text{th}}$ diminuto —, pero es adecuada para transmitir las ideas esenciales. Esta explicación también será bastante informal con el modelo de ruido, asumiendo que un error afecta cada ubicación en una implementación tolerante a fallos de forma independiente con probabilidad $p$.

Si la probabilidad $p$ es mayor que el inverso de $N$, el tamaño del circuito a implementar, hay una muy buena probabilidad de que ocurra un error en algún lugar. Así que podemos intentar ejecutar una implementación tolerante a fallos de este circuito, siguiendo el enfoque esbozado en la lección. Podemos entonces hacernos la pregunta propuesta anteriormente: ¿Esto mejora la situación o la empeora?

Si la probabilidad $p$ de un error en cada ubicación es demasiado grande, nuestros esfuerzos no ayudarán y podrían incluso empeorar la situación — al igual que el código de Shor de $9$ qubits no ayuda cuando la probabilidad de error está por encima de aproximadamente 3,23%. En particular, la implementación tolerante a fallos es considerablemente más grande que nuestro circuito original, por lo que hay muchas más ubicaciones donde podrían ocurrir errores.

Sin embargo, si $p$ es lo suficientemente pequeño, lograremos reducir la probabilidad de error para la computación lógica que estamos realizando. (En una demostración formal, tendríamos que ser muy cuidadosos en este punto: los errores en la computación lógica no necesariamente se describen exactamente por el modelo de ruido original. Esto en realidad motiva modelos de ruido menos indulgentes en los que los errores pueden no ser independientes — pero dejaremos de lado este detalle para los propósitos de esta explicación.)

Más precisamente: para que ocurra un error lógico en el circuito original, al menos dos errores deben caer en el mismo bloque de código en la implementación tolerante a fallos, ya que el código de Steane puede corregir cualquier error individual en un bloque de código. Considerando que hay muchas formas diferentes de tener dos o más errores en el mismo bloque de código, se puede argumentar que la probabilidad de un error lógico en cada ubicación del circuito original es a lo sumo $C p^2$ para un número real positivo fijo $C$ que depende del código y los gadgets, pero no de $N$, el tamaño del circuito original. Si $p$ es menor que $1/C$ — el valor que podemos tomar como nuestro umbral $p_{\text{th}}$ —, esto corresponde a una reducción de errores.

Sin embargo, esta nueva tasa de error podría seguir siendo demasiado alta para que todo el circuito funcione correctamente. Un siguiente paso natural es elegir un mejor código y mejores gadgets para reducir la tasa de error a un punto en el que la implementación probablemente funcione. Desde un punto de vista teórico, una forma sencilla de argumentar que esto es posible es la concatenación. Esto significa que podemos considerar la implementación tolerante a fallos del circuito original como cualquier otro circuito cuántico, y luego implementar este nuevo circuito de forma tolerante a fallos usando el mismo esquema. Podemos hacer esto una y otra vez, tantas veces como sea necesario, para reducir la tasa de error a un nivel que permita la computación original.

Para tener una idea aproximada de cómo disminuye la tasa de error con este método, veamos cómo funciona para algunas iteraciones. Nótese que un análisis riguroso tendría que considerar varios detalles técnicos que aquí omitimos.

Comenzamos con la probabilidad de error $p$ para las ubicaciones en el circuito original. Suponiendo que $p < p_{\text{th}} = 1/C$, la tasa de error lógico después de la primera iteración puede acotarse por $Cp^2 = (Cp) p$. Si tratamos la implementación tolerante a fallos como cualquier otro circuito y la implementamos de forma tolerante a fallos, obtenemos una cota para la tasa de error lógico de

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Una iteración más reduce la cota de error a

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Si continuamos de esta manera durante un total de $k$ iteraciones, obtenemos una tasa de error lógico (para el circuito original) acotada por

$$(Cp)^{2^k - 1} p$$

que es doblemente exponencial en $k$.

Esto significa que no necesitamos muchas iteraciones para hacer la tasa de error extremadamente pequeña. Al mismo tiempo, el tamaño de los circuitos crece con cada nivel de concatenación, pero el tamaño aumenta solo exponencialmente simple con el número de niveles $k$. Esto se debe a que el tamaño crece en cada nivel de tolerancia a fallos como máximo por un factor determinado por el tamaño máximo de los gadgets utilizados. Al juntar todo y elegir un número adecuado de niveles de concatenación, se obtiene el teorema del umbral.

¿Cuál es este umbral en la realidad? La respuesta depende del código y los gadgets utilizados. Para el código de Steane junto con la destilación de estados mágicos, es diminutamente pequeño y probablemente no alcanzable en la práctica. Pero usando códigos de superficie y gadgets de última generación, el umbral se ha estimado en el orden de 0,1% a 1%.

A medida que se descubren nuevos códigos y métodos, es razonable esperar que el umbral aumente, mientras que al mismo tiempo el ruido en los componentes físicos reales disminuye. Alcanzar el punto en el que las computaciones cuánticas a gran escala puedan implementarse de forma tolerante a fallos no será fácil y no ocurrirá de la noche a la mañana. Pero este teorema, junto con los avances en códigos cuánticos y hardware cuántico, nos ofrece optimismo mientras seguimos trabajando hacia el objetivo último de construir un computador cuántico tolerante a fallos a gran escala.

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