Codificación superdensa

La codificación superdensa es un protocolo que, en cierto sentido, persigue un objetivo complementario al de la teleportación. En lugar de permitir la transmisión de un qubit mediante dos bits de comunicación clásica (a costa de un e-bit de entrelazamiento), permite la transmisión de dos bits clásicos mediante un solo qubit de comunicación cuántica (también a costa de un e-bit de entrelazamiento).

En detalle, tenemos un emisor (Alice) y un receptor (Bob) que comparten un e-bit de entrelazamiento. Siguiendo las convenciones de esta lección, esto significa que Alice posee un qubit $\mathsf{A},$ Bob posee un qubit $\mathsf{B},$ y juntos el par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se encuentra en el estado $\vert\phi^+\rangle.$ Alice desea transmitir a Bob dos bits clásicos, que denotamos como $c$ y $d$, y lo consigue enviándole un solo qubit.

Podría considerarse este logro como menos impresionante que el de la teleportación. Enviar qubits será mucho más difícil que enviar bits clásicos en el futuro previsible, por lo que intercambiar un qubit de comunicación cuántica por dos bits clásicos — además al costo de un e-bit — difícilmente parece valer la pena. Sin embargo, esto no significa que la codificación superdensa carezca de interés — todo lo contrario.

En consonancia con el tema de esta lección, la codificación superdensa resulta interesante por una razón: demuestra un uso concreto y (en el contexto de la teoría de la información) francamente sorprendente del entrelazamiento. Un famoso teorema de la teoría de la información cuántica, conocido como teorema de Holevo, implica que sin un estado entrelazado compartido, es imposible transmitir más de un bit de información clásica enviando un solo qubit. (El teorema de Holevo es más general de lo que se presenta aquí. Su enunciado exacto es técnico y requiere explicación, pero esto es una de sus consecuencias.) A través de la codificación superdensa, el entrelazamiento compartido permite efectivamente duplicar la capacidad de información clásica al enviar qubits.

Protocolo

El siguiente diagrama de circuito cuántico describe el protocolo de codificación superdensa:

Lo que hace Alice se puede describir de la siguiente manera:

1. Si $d=1,$ Alice aplica una puerta $Z$ a su qubit $\mathsf{A}$ (si $d=0$, no hace nada).

2. Si $c=1,$ Alice aplica una puerta $X$ a su qubit $\mathsf{A}$ (si $c=0$, no hace nada).

Luego Alice envía su qubit $\mathsf{A}$ a Bob.

Lo que hace Bob cuando recibe el qubit $\mathsf{A}$: primero aplica una puerta controlled-NOT, donde $\mathsf{A}$ es el qubit de control y $\mathsf{B}$ es el qubit objetivo, y luego aplica una puerta de Hadamard a $\mathsf{A}$. A continuación mide $\mathsf{B}$ para obtener $c$, y $\mathsf{A}$ para obtener $d$ — en ambos casos con mediciones en la base estándar.

Análisis

La idea detrás de este protocolo es bastante simple: Alice elige efectivamente qué estado de Bell desea compartir con Bob, le envía su qubit, y Bob mide para determinar qué estado de Bell eligió Alice.

Es decir, inicialmente comparten $\vert\phi^+\rangle,$ y dependiendo de los bits $c$ y $d$, Alice deja este estado sin cambios o lo desplaza a uno de los otros estados de Bell aplicando $\mathbb{I},$ $X,$ $Z$ o $XZ$ a su qubit $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Las acciones de Bob tienen los siguientes efectos sobre los cuatro estados de Bell:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Esto se puede verificar directamente calculando los resultados de las operaciones de Bob sobre estos estados uno por uno.

Así, cuando Bob realiza sus mediciones, puede determinar qué estado de Bell eligió Alice. Para verificar que el protocolo funciona correctamente, debemos examinar cada caso:

• Si $cd = 00,$ el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ cuando Bob recibe $\mathsf{A}$ es $\vert \phi^+\rangle.$ Él transforma este estado en $\vert 00\rangle$ y obtiene $cd = 00.$

• Si $cd = 01,$ el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ cuando Bob recibe $\mathsf{A}$ es $\vert \phi^-\rangle.$ Él transforma este estado en $\vert 01\rangle$ y obtiene $cd = 01.$

• Si $cd = 10,$ el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ cuando Bob recibe $\mathsf{A}$ es $\vert \psi^+\rangle.$ Él transforma este estado en $\vert 10\rangle$ y obtiene $cd = 10.$

• Si $cd = 11,$ el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ cuando Bob recibe $\mathsf{A}$ es $\vert \psi^-\rangle.$ Él transforma este estado en $-\vert 11\rangle$ y obtiene $cd = 11.$ (El factor de fase $-1$ no tiene ningún efecto aquí.)