Teleportación cuántica

La teleportación cuántica — o simplemente teleportación — es un protocolo en el que un emisor (Alice) transmite un qubit a un receptor (Bob) utilizando un estado cuántico entrelazado compartido (exactamente un e-bit) junto con dos bits de comunicación clásica. El nombre teleportación pretende evocar el concepto de ciencia ficción en el que la materia se transporta de un lugar a otro mediante un proceso futurista, pero debe quedar claro que en la teleportación cuántica no se teleporta materia — lo que realmente se teleporta es información cuántica.

La configuración para la teleportación es la siguiente.

Asumimos que Alice y Bob comparten un e-bit: Alice posee un qubit $\mathsf{A},$ Bob posee un qubit $\mathsf{B},$ y juntos el par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se encuentra en el estado $\vert\phi^+\rangle.$ Por ejemplo, Alice y Bob podrían haber estado anteriormente en el mismo lugar, haber preparado los qubits $\mathsf{A}$ y $\mathsf{B}$ en el estado $\vert \phi^+ \rangle$, y luego cada uno haberse marchado con su qubit. O podría haberse utilizado otro proceso, por ejemplo con la participación de un tercero o un proceso distribuido complejo, para establecer este e-bit compartido. Estos detalles no forman parte del protocolo de teleportación en sí.

Alice recibe entonces un tercer qubit $\mathsf{Q},$ que desea transmitir a Bob. El estado del qubit $\mathsf{Q}$ se considera desconocido tanto para Alice como para Bob, y no se hacen suposiciones sobre él. Por ejemplo, el qubit $\mathsf{Q}$ podría estar entrelazado con uno o más sistemas a los que ni Alice ni Bob tienen acceso. Decir que Alice desea transmitir el qubit $\mathsf{Q}$ a Bob significa que Alice quiere que Bob posea un qubit en el estado en que $\mathsf{Q}$ estaba al inicio del protocolo, con todas las correlaciones que $\mathsf{Q}$ tenía con otros sistemas, como si Alice le hubiera entregado físicamente $\mathsf{Q}$ a Bob.

Podría imaginarse que Alice envía físicamente el qubit $\mathsf{Q}$ a Bob, y si le llega sin alteraciones, la tarea de Alice y Bob estaría cumplida. Sin embargo, en el contexto de la teleportación asumimos que esto no es factible; Alice no puede enviar qubits directamente a Bob. No obstante, sí puede enviar información clásica a Bob.

Estas suposiciones son razonables en diversos escenarios. Si Alice no conoce la ubicación exacta de Bob o la distancia entre ellos es grande, por ejemplo, enviar físicamente un qubit sería un enorme desafío con la tecnología actual o previsible. Como sabemos por la experiencia cotidiana, sin embargo, la transmisión de información clásica en estas circunstancias es bastante sencilla.

En este punto, uno podría preguntarse si es posible para Alice y Bob cumplir su tarea sin necesidad de utilizar un e-bit compartido. En otras palabras: ¿existe alguna forma de transmitir un qubit utilizando exclusivamente comunicación clásica?

La respuesta es no — no es posible transmitir información cuántica utilizando exclusivamente comunicación clásica. Esto no es demasiado difícil de demostrar matemáticamente usando la teoría básica de información cuántica, pero alternativamente podemos descartar la posibilidad de enviar qubits solo con comunicación clásica mediante el teorema de no clonación.

Imaginemos que existiera una forma de enviar información cuántica utilizando exclusivamente comunicación clásica. La información clásica puede copiarse y difundirse fácilmente, lo que significa que cualquier transmisión clásica de Alice a Bob también podría ser recibida por un segundo receptor (llamémosle Charlie). Pero si Charlie recibe la misma comunicación clásica que Bob, ¿no podría obtener también una copia del qubit $\mathsf{Q}$? Eso significaría que $\mathsf{Q}$ habría sido clonado, lo cual ya sabemos que es imposible por el teorema de no clonación, y por tanto concluimos que no existe forma de enviar información cuántica exclusivamente con comunicación clásica.

Si, por el contrario, se cumple la suposición de que Alice y Bob comparten un e-bit, entonces es posible que Alice y Bob cumplan su tarea. Eso es exactamente lo que hace el protocolo de teleportación cuántica.

Protocolo

Aquí se muestra un diagrama de circuito cuántico que describe el protocolo de teleportación:

El diagrama está algo estilizado ya que representa la separación entre Alice y Bob, con dos cables diagonales que representan bits clásicos enviados de Alice a Bob, pero por lo demás es un diagrama de circuito cuántico ordinario. Los nombres de los qubits se indican encima de los cables en lugar de a su izquierda, para poder mostrar también los estados iniciales (algo que hacemos frecuentemente cuando resulta práctico). Obsérvese también que las puertas $X$ y $Z$ tienen controles clásicos, lo que simplemente significa que las puertas se aplican o no según si estos bits de control clásicos son $0$ o $1$.

El protocolo de teleportación se puede describir de la siguiente manera:

1. Alice realiza una operación controlled-NOT sobre el par $(\mathsf{A},\mathsf{Q})$, donde $\mathsf{Q}$ es el qubit de control y $\mathsf{A}$ es el qubit objetivo, y luego aplica una operación de Hadamard a $\mathsf{Q}$.

2. Alice mide entonces tanto $\mathsf{A}$ como $\mathsf{Q}$ con mediciones en la base estándar y transmite los resultados clásicos a Bob. Llamamos al resultado de la medición de $\mathsf{A}$ como $a$ y al resultado de la medición de $\mathsf{Q}$ como $b.$

3. Bob recibe $a$ y $b$ de Alice y realiza las siguientes operaciones dependiendo de los valores de estos bits:

   • Si $a = 1,$ Bob aplica un bit-flip (o puerta $X$) a su qubit $\mathsf{B}$.
   • Si $b = 1,$ Bob aplica un phase-flip (o puerta $Z$) a su qubit $\mathsf{B}$.

   Es decir, dependiendo de si $ab$ es $00,$ $01,$ $10$ o $11$, Bob realiza una de las operaciones $\mathbb{I},$ $Z,$ $X$ o $ZX$ sobre el qubit $\mathsf{B}$.

Esta es la descripción completa del protocolo de teleportación. El siguiente análisis muestra que, cuando se ejecuta, el qubit $\mathsf{B}$ estará en el estado en que $\mathsf{Q}$ se encontraba antes de la ejecución del protocolo, incluyendo todas las correlaciones que tenía con otros sistemas — lo que significa que el protocolo ha implementado efectivamente un canal perfecto de comunicación de qubits, en el que el estado de $\mathsf{Q}$ ha sido «teleportado» a $\mathsf{B}$.

Obsérvese, antes de pasar al análisis, que este protocolo no consiste en clonar el estado de $\mathsf{Q}$, lo cual se sabe que es imposible por el teorema de no clonación. Más bien, el estado del qubit $\mathsf{Q}$ ha cambiado al final del protocolo, pasando de su valor original a $\vert b\rangle$, como resultado de la medición realizada sobre él. Obsérvese además que el e-bit ha sido efectivamente «consumido» en el proceso: el estado de $\mathsf{A}$ ha cambiado a $\vert a\rangle$ y ya no está entrelazado con $\mathsf{B}$ (ni con ningún otro sistema). Ese es el precio de la teleportación.

Análisis

Para analizar el protocolo de teleportación, examinamos el comportamiento del circuito descrito arriba paso a paso, comenzando con la situación en que $\mathsf{Q}$ está inicialmente en el estado $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$. Esta no es la situación más general, ya que no contempla la posibilidad de que $\mathsf{Q}$ esté entrelazado con otros sistemas, pero comenzar con este caso más sencillo hará el análisis más claro. El caso más general se trata más adelante, después del análisis del caso sencillo.

En particular, consideramos los estados de los qubits $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ en los instantes de tiempo sugeridos por esta figura:

Suponiendo que el qubit $\mathsf{Q}$ comienza el protocolo en el estado $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$, el estado de los tres qubits $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ al inicio del protocolo es por tanto

$$\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.$$

La primera puerta aplicada es la puerta controlled-NOT, que transforma el estado $\vert\pi_0\rangle$ en

$$\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Luego se aplica la puerta de Hadamard, que transforma el estado $\vert\pi_1\rangle$ en

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}$$

Utilizando la multilinealidad del producto tensorial, podemos escribir este estado de forma alternativa como:

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}$$

A primera vista podría parecer que ha ocurrido algo mágico, pues el qubit de la izquierda $\mathsf{B}$ parece depender ahora de los números $\alpha$ y $\beta$, aunque aún no se ha producido ninguna comunicación de Alice a Bob. Sin embargo, esto es una ilusión. Los escalares se mueven libremente a través de los productos tensoriales, por lo que $\alpha$ y $\beta$ no están más ni menos asociados al qubit de la izquierda que a los demás qubits — simplemente hemos utilizado álgebra para expresar el estado de forma que facilite el análisis de las mediciones.

Consideremos ahora los cuatro posibles resultados de las mediciones en la base estándar de Alice junto con las acciones que Bob realiza en consecuencia.

Resultados posibles

• El resultado de la medición de Alice es $aq = 00$ con probabilidad

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  en cuyo caso el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ se convierte en

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle.$$

  Bob no hace nada en este caso, por lo que este es el estado final de estos tres qubits.

• El resultado de la medición de Alice es $aq = 01$ con probabilidad

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  en cuyo caso el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ se convierte en

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

  En este caso Bob aplica una puerta $Z$ a $\mathsf{B}$, dejando $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ en el estado

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

• El resultado de la medición de Alice es $aq = 10$ con probabilidad

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  en cuyo caso el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ se convierte en

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

  En este caso Bob aplica una puerta $X$ al qubit $\mathsf{B}$, dejando $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ en el estado

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

• El resultado de la medición de Alice es $aq = 11$ con probabilidad

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  en cuyo caso el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ se convierte en

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

  En este caso Bob realiza la operación $ZX$ sobre el qubit $\mathsf{B}$, dejando $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ en el estado

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

Vemos ahora que en los cuatro casos, el qubit $\mathsf{B}$ de Bob se encuentra al final del protocolo en el estado $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$, que es el estado inicial del qubit $\mathsf{Q}.$ Esto es lo que queríamos demostrar: el protocolo de teleportación ha funcionado correctamente.

También vemos que los qubits $\mathsf{A}$ y $\mathsf{Q}$ quedan en uno de los cuatro estados $\vert 00\rangle,$ $\vert 01\rangle,$ $\vert 10\rangle$ o $\vert 11\rangle$, cada uno con probabilidad $1/4,$ dependiendo de los resultados de medición que Alice haya obtenido. Al final del protocolo, Alice ya no posee el estado $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ lo cual es consistente con el teorema de no clonación.

Obsérvese que las mediciones de Alice no proporcionan ninguna información sobre el estado $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$. Es decir, la probabilidad de cada uno de los cuatro posibles resultados de medición es $1/4,$ independientemente de $\alpha$ y $\beta.$ Esto también es esencial para que la teleportación funcione correctamente. Extraer información de un estado cuántico desconocido generalmente lo perturba, pero aquí Bob recibe el estado sin que sea perturbado.

Consideremos ahora la situación más general en la que el qubit $\mathsf{Q}$ está inicialmente entrelazado con otro sistema al que llamamos $\mathsf{R}$. Un análisis similar al anterior muestra que el protocolo de teleportación también funciona correctamente en este caso más general: al final del protocolo, el qubit $\mathsf{B}$ que posee Bob está entrelazado con $\mathsf{R}$ de la misma manera en que $\mathsf{Q}$ lo estaba al inicio del protocolo, como si Alice simplemente le hubiera entregado $\mathsf{Q}$ a Bob.

Para demostrarlo, supongamos que el estado del par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ es inicialmente un vector de estado cuántico de la forma

$$\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},$$

donde $\vert\gamma_0\rangle$ y $\vert\gamma_1\rangle$ son vectores de estado cuántico para el sistema $\mathsf{R}$ y $\alpha$ y $\beta$ son números complejos que satisfacen $\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1$. Cualquier vector de estado cuántico del par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ puede expresarse de esta manera.

La siguiente figura muestra el mismo circuito que antes, con la adición del sistema $\mathsf{R}$ (representado como una colección de qubits en la parte superior del diagrama, a los que no les ocurre nada).

Para analizar lo que ocurre al ejecutar el protocolo de teleportación, resulta útil permutar los sistemas, de manera similar a lo descrito en la lección anterior. En particular, consideramos el estado de los sistemas en el orden $(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ en lugar de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R}).$ Los nombres de los distintos sistemas se indican como subíndices en las siguientes expresiones para mayor claridad.

Al inicio del protocolo, el estado de estos sistemas es el siguiente:

$$\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

Primero se aplica la puerta controlled-NOT, que transforma este estado en

$$\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.$$

Luego se aplica la puerta de Hadamard. Tras desarrollar y simplificar el estado resultante, de manera similar al análisis del caso sencillo anterior, obtenemos la siguiente expresión del estado resultante:

$$\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}$$

Exactamente como antes, al considerar los cuatro posibles resultados de las mediciones de Alice junto con las correspondientes acciones de Bob, comprobamos que al final del protocolo el estado de $(\mathsf{B},\mathsf{R})$ es siempre

$$\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle$$

De manera informal, el análisis no cambia sustancialmente respecto al caso más sencillo; $\vert\gamma_0\rangle$ y $\vert\gamma_1\rangle$ simplemente «van junto con el resto». La teleportación crea, por tanto, un canal perfecto de comunicación cuántica y transmite efectivamente el contenido del qubit $\mathsf{Q}$ a $\mathsf{B}$, preservando todas las correlaciones con otros sistemas.

Esto no es en absoluto sorprendente si consideramos el análisis del caso más sencillo anterior. Como reveló ese análisis, tenemos un proceso físico que actúa como la operación identidad sobre un qubit en un estado cuántico arbitrario — y eso solo puede ocurrir de una manera: la operación implementada por el protocolo debe ser la operación identidad. Es decir, una vez que sabemos que la teleportación funciona correctamente para un solo qubit aislado, podemos concluir que el protocolo implementa efectivamente un canal cuántico perfecto y libre de ruido, y por tanto también debe funcionar correctamente cuando el qubit de entrada está entrelazado con otro sistema.

Discusión adicional

Aquí se presentan algunas breves observaciones finales sobre la teleportación.

En primer lugar, la teleportación no es una aplicación de la información cuántica, sino un protocolo de comunicación cuántica. Es, por tanto, útil solo en la medida en que la comunicación cuántica sea útil.

Es bastante concebible que la teleportación se convierta algún día en un procedimiento estándar para la transmisión de información cuántica, posiblemente a través de un proceso conocido como destilación de entrelazamiento. En este proceso, un mayor número de e-bits ruidosos (o imperfectos) se convierten en un menor número de e-bits de alta calidad, que podrían usarse para una teleportación libre de ruido o casi libre de ruido. La idea es que el proceso de destilación de entrelazamiento sea menos sensible que la comunicación cuántica directa. Por ejemplo, se podrían aceptar pérdidas, y si el proceso no funciona, simplemente se puede intentar de nuevo. En cambio, los qubits reales que deseamos comunicar podrían ser mucho más valiosos.

Finalmente, es importante entender que la idea detrás de la teleportación y cómo funciona es fundamental para la información y la computación cuánticas. Es verdaderamente una piedra angular de la teoría de la información cuántica, y variantes de ella aparecen una y otra vez. Por ejemplo, las puertas cuánticas pueden implementarse mediante un proceso estrechamente relacionado conocido como teleportación de puertas cuánticas, en el que la teleportación se utiliza para aplicar operaciones a qubits en lugar de comunicarlos.