Fundamentos de mecánica cuántica

Introducción

En el siguiente vídeo, Olivia Lanes te guía a través del contenido de esta lección. Alternativamente, puedes abrir el vídeo de YouTube de esta lección en una ventana separada.

En la lección anterior, aprendimos cómo producir un estado entrelazado de dos qubits, conocido como "estado de Bell". Cuando medimos el estado, observamos que las mediciones de los dos qubits estaban correlacionadas: cuando uno se medía como 0, el otro también se medía como 0, y cuando uno era 1, el otro también se medía como 1. Vimos que esto es una característica del entrelazamiento cuántico. Hoy profundizaremos en este estado y en lo que revela sobre la física cuántica fundamental para la computación cuántica.

El estado de Bell

Muchos de los fenómenos cuánticos que hacen que los computadores cuánticos se comporten de manera diferente a los computadores clásicos ya están presentes en el engañosamente simple estado de Bell que produjimos en la lección anterior. Recuperemos ese Circuit del estado de Bell:

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!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

La imagen anterior representa el Circuit cuántico para crear el estado de Bell $\vert\Phi^+\rangle$. Las dos líneas horizontales negras representan nuestros dos qubits, y los recuadros y otros símbolos sobre esas líneas representan Gates u operaciones realizadas sobre los qubits correspondientes. La línea doble gris es un bus de información clásica que nos permite almacenar la información clásica que obtenemos al medir los dos qubits. Vamos a profundizar en los detalles de este Circuit y el estado de Bell resultante para entender los fundamentos de la computación cuántica.

Las matemáticas de la computación cuántica

Representación del estado cuántico

Primero, necesitamos un lenguaje común para hablar sobre estados y Circuits cuánticos. Hay un par de formas diferentes de representar estados cuánticos. La primera es con la notación de Dirac. En notación de Dirac, el estado se escribe así:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Aquí, el estado se escribe dentro de corchetes angulares y barras verticales. Los dos términos representan cada uno los dos posibles resultados de la medición del estado. Entonces, cuando medimos este estado, encontraremos que ambos qubits están en el estado 0 o que ambos están en el estado 1. La constante $\frac{1}{\sqrt{2}}$ se llama "constante de normalización". Está ahí para garantizar que la suma de los cuadrados de cada uno de los coeficientes del estado sumen $1$. Discutiremos por qué este es el caso más adelante, en la sección sobre mediciones.

La segunda forma de representar un estado es en el lenguaje estándar del álgebra lineal: como un vector, donde cada entrada del vector representa un posible resultado de medición diferente. En esta notación, nuestro estado de Bell se escribiría así:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Por convención, las entradas del vector se ordenan de la siguiente manera:

• La primera entrada corresponde al estado de dos qubits $\vert00\rangle$
• La segunda a $\vert01\rangle$
• La tercera a $\vert10\rangle$
• La cuarta a $\vert11\rangle$

Como era de esperar, en el vector del estado de Bell $\vert\Phi^+\rangle$, la primera y la cuarta entrada son distintas de cero, mientras que la segunda y la tercera son cero. La constante de normalización $1/\sqrt{2}$ garantiza que la longitud del vector sea $1$.

Una nota sobre el orden de los qubits

Qiskit usa el ordenamiento little endian. Esto significa que el Qubit más a la derecha se considera el primero (o el menos significativo), y el Qubit más a la izquierda es el más significativo. Entonces, cuando escribimos un estado como $\vert01\rangle$:

• el bit más a la derecha corresponde al qubit $0$, y está en el estado $\vert1\rangle$.
• el bit más a la izquierda corresponde al qubit $1$, y está en el estado $\vert0\rangle$.

Representación de Gates

Así como los estados pueden representarse como vectores, los Gates pueden representarse como matrices. Un Gate actúa sobre un estado transformando su vector en un nuevo vector.

Cada Gate corresponde a una matriz específica que dicta cómo se transformará el estado. Aplicamos esta transformación multiplicando la matriz del Gate y el vector de estado original, con la matriz del Gate a la izquierda del vector de estado, así:

$$U |\psi\rangle$$

donde $U$ representa la matriz del Gate y $|\psi\rangle$ representa el vector de estado.

Veamos el Gate de Hadamard como ejemplo. El Gate de Hadamard es un Gate de un solo Qubit (el recuadro rojo etiquetado "H" en el diagrama del Circuit anterior) que transforma el estado $\vert0\rangle$ a $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ y el estado $\vert1\rangle$ a $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. En notación matricial, el Hadamard se ve así:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Comprueba tu comprensión

Usa la multiplicación de matrices para demostrar que la matriz de Hadamard transforma los estados como se esperaba. (Si es necesario, puedes aprender cómo hacer multiplicación de matrices.)

Answer

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Hay algunas cosas que hay que tener en cuenta sobre las matrices de Gate:

1. Siempre son matrices cuadradas $N \times N$, donde $N$ es también la dimensión del vector de estado al que se aplican. Por ejemplo, cuando solo tienes un Qubit, el vector de estado es bidimensional, representando los dos posibles estados 0 y 1 del Qubit. En este caso, las dimensiones de la matriz del Gate aplicada a este sistema serían $2\times 2$.
2. Los Gates cuánticos son reversibles. En otras palabras, puedes encontrar otra matriz que sea el inverso del Gate, que deshace la acción del Gate y transforma los qubits de vuelta a su estado original.
3. Los Gates cuánticos también preservan la longitud de los vectores que transforman. Los vectores de estado cuántico siempre tendrán longitud $1$ (garantizado por las constantes de normalización que discutimos antes). Los Gates no los alargan ni los acortan, sino que simplemente los rotan.

Estas son todas propiedades de las matrices unitarias. Si tienes curiosidad sobre más de las propiedades matemáticas de las matrices unitarias, puedes leer más sobre ellas en la lección de John Watrous sobre sistemas múltiples en el curso de Conceptos Básicos de Información Cuántica.

Cómo funcionan las mediciones

Cuando medimos un estado cuántico, el resultado es siempre uno de los posibles resultados (para un Qubit único, ya sea 0 o 1). Cuál obtenemos es aleatorio, pero el estado cuántico nos dice las probabilidades de cada resultado.

Las entradas en el vector de estado determinan estas probabilidades. Para obtener la probabilidad de un resultado particular, tomamos el cuadrado de la entrada correspondiente a ese resultado. Por ejemplo, si un Qubit está en el estado:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

la primera entrada (correspondiente a 0) es $1/\sqrt{2}$, y la segunda entrada (correspondiente a 1) también es $1/\sqrt{2}$. Elevar al cuadrado estos números da

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

lo que significa que hay un 50% de posibilidad de medir 0 y un 50% de posibilidad de medir 1.

Recuerda que la suma de todas las entradas al cuadrado siempre suma 1. Esto tiene sentido porque cuando medimos, tenemos garantizado obtener algún resultado, por lo que las probabilidades de todos los posibles resultados deben sumar 100%.

Después de la medición, el Qubit colapsa al resultado observado, y cualquier superposición anterior se pierde. El Qubit ahora se comporta como un bit clásico. Las mediciones son fundamentalmente diferentes de los Gates cuánticos. Mientras que los Gates cambian los estados cuánticos de manera determinista y reversible, la medición es inherentemente aleatoria e irreversible.

Medición en diferentes bases

Por defecto, cuando mides un Qubit en un Circuit cuántico, estás midiendo el estado del Qubit solo a lo largo de un eje. Esto se llama la base computacional, o base $Z$, que está definida por los estados $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$. Puedes pensar en el estado $\vert 0\rangle$ como un vector apuntando hacia arriba, y el estado $\vert 1\rangle$ como un vector apuntando hacia abajo. Por lo tanto, una medición en la base $Z$ responde la pregunta "¿El estado del Qubit apunta hacia arriba o hacia abajo?"

Pero este no es el único tipo de pregunta que podemos hacerle a un Qubit. El vector de estado de un Qubit no solo apunta hacia arriba o hacia abajo. Una superposición de $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$ dará como resultado un vector de estado que apunta en cualquier dirección en el espacio tridimensional — la dirección precisa depende de las amplitudes relativas y las fases de las dos partes de la superposición. Entonces, mientras que una medición estándar en la base $Z$ pregunta "¿arriba o abajo?", también puedes preguntar "¿izquierda o derecha?" o "¿adelante o atrás?"

Estas preguntas corresponden a medir en diferentes bases. Cada base tiene su propio conjunto de dos vectores base, que definen los dos posibles resultados de medición en esa base (como $\vert 0\rangle$ o $\vert 1\rangle$ para la base $Z$).

• Los resultados de medición en la base Z colapsan a $\vert 0\rangle$ o $\vert 1\rangle$
• Los resultados de medición en la base X colapsan a $\vert +\rangle$ o $\vert -\rangle$
• Los resultados de medición en la base Y colapsan a $\vert i\rangle$ o $\vert -i\rangle$

donde

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

donde $i=\sqrt{−1}$ es la unidad imaginaria. Aquí estamos viendo por primera vez superposiciones con una diferencia de fase entre las dos partes. La fase normalmente se escribe como $e^{i\theta}$, donde $\theta$ es el ángulo de la amplitud del estado cuántico en el plano complejo — un plano bidimensional donde el eje horizontal representa los números reales y el eje vertical representa los imaginarios. Puedes pensarlo de manera más intuitiva como cuán desplazada está una onda en relación con otra: ¿están alineados sus picos, o una onda está desplazada de modo que su pico coincide con el valle de la otra?

Matrices de Pauli y observables

Hay tres matrices, las llamadas matrices de Pauli, que se relacionan con estas tres opciones de base diferentes $X$, $Y$ y $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

¿Cómo se relacionan exactamente con las bases de medición? A primera vista, estas parecen matrices de Gate ordinarias — y lo son. Cada matriz de Pauli puede actuar sobre un Qubit y cambiar su estado:

• Pauli-X voltea $|0\rangle$ y $|1\rangle$, como un Gate NOT clásico.
• Pauli-Z deja $|0\rangle$ sin cambios pero multiplica $|1\rangle$ por $-1$, cambiando la fase relativa.
• Pauli-Y voltea el Qubit e introduce una fase.

Pero las matrices de Pauli tienen una segunda interpretación igualmente importante. En mecánica cuántica, cualquier cantidad medible se llama observable, y los observables están representados por matrices. Las matrices de Pauli corresponden a mediciones a lo largo de tres ejes diferentes, y sus autoestados corresponden a los dos posibles resultados de medición a lo largo de cada eje. (Si no estás familiarizado/a con el término autoestado, no pasa nada — son simplemente vectores especiales asociados con una matriz dada.)

• $Z$ → medición en la base Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → medición en la base X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → medición en la base Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Esto explica por qué las matrices de Pauli parecen cumplir una doble función. Tanto actúan sobre estados (como Gates) como definen direcciones de medición (como observables). Ambos roles provienen de las mismas matemáticas subyacentes.

Entonces, ¿cómo se mide en la base X o Y en la práctica? Por defecto, nuestros computadores cuánticos solo están configurados para medir en la base Z. Por lo tanto, necesitas cambiar de base rotando el vector de estado del Qubit de tal manera que la información que te interesa, ya sea X o Y, ahora apunte en la dirección Z. Luego, simplemente realizas una medición Z como de costumbre.

Por ejemplo, medir en la base X se puede hacer aplicando un Gate de Hadamard y luego midiendo en la base Z. El Hadamard rota el estado de modo que la "información X" se convierte en "información Z". Después de eso, una medición normal hace el trabajo.

Verás más sobre las matrices de Pauli en la próxima lección, cuando apliquemos nuestras nuevas habilidades para escribir Circuits cuánticos a un problema real en física cuántica.

El Circuit del estado de Bell

Ahora que tenemos un punto de partida — sabemos que los estados pueden representarse mediante vectores, los Gates pueden representarse mediante matrices, y las mediciones hacen que un estado "colapse" — recorramos el Circuit que crea y mide el estado de Bell anterior.

Comenzamos con el estado inicial de dos qubits en $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Crear la superposición

El Circuit comienza aplicando un Gate de Hadamard al qubit 0. Como vimos en la sección anterior, el Hadamard lleva al Qubit de un estado definido, ya sea $|0\rangle$ o $|1\rangle$, a una combinación de ambos estados. Recuerda que el Gate de Hadamard es:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Para aplicarlo al primer Qubit en un sistema de dos qubits, usamos una matriz expandida de 4x4 que aplica $H$ al qubit 0 mientras deja el qubit 1 sin cambios. Piénsalo como "aplica $H$ al primer Qubit y no toques el segundo Qubit":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Luego multiplicamos esto por el vector de estado inicial:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Ahora el qubit 0 está en un estado de superposición.

Más sobre la superposición cuántica

Una superposición cuántica del tipo anterior a menudo se describe como que el Qubit está en ambos estados al mismo tiempo. Sin embargo, cuando medimos este estado de superposición, el resultado siempre es $0$ o $1$ — nunca podemos observar directamente la superposición en sí. De hecho, la frase "el Qubit está en ambos estados al mismo tiempo" puede ser engañosa. Una forma más precisa de describirlo es que una superposición es una descripción matemática del estado cuántico que nos permite calcular las probabilidades de diferentes resultados de medición. Algunas personas piensan que las superposiciones son físicamente reales, pero esta es una interpretación filosófica que no puede ser probada; la mecánica cuántica solo predice las probabilidades de los resultados de las mediciones.

A diferencia de una distribución de probabilidad clásica, una superposición cuántica también permite que los diferentes componentes interfieran entre sí, como ondas que se superponen y pueden amplificarse o cancelarse entre sí. Esta interferencia es lo que permite a los algoritmos cuánticos producir patrones de resultados de medición que serían imposibles con la aleatoriedad clásica solamente.

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Entrelazar los qubits

A continuación, se aplica un Gate CNOT controlado (mostrado como el punto azul, la línea vertical y el círculo con el signo más que conecta los dos qubits). Este Gate entrelaza los dos qubits. Después de este paso, el estado de un Qubit no puede describirse independientemente del otro.

El Gate CNOT voltea el qubit 1 (llamado el Qubit objetivo) solo si el qubit 0 (llamado el Qubit de control) está en el estado $\vert 1\rangle$. Su matriz es:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Aplícalo al estado del Paso 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Ahora los qubits están entrelazados: medir uno determina inmediatamente el otro.

Más sobre el entrelazamiento cuántico

El entrelazamiento, como la superposición, es un fenómeno cuántico que no tiene análogo clásico. En los sistemas clásicos, dos bits correlacionados podrían tener sus valores vinculados, pero cada bit todavía tiene un valor definido — incluso si no lo sabemos. Por ejemplo, si dos monedas están pegadas para que siempre caigan de la misma manera, una moneda mostrando cara te dice inmediatamente que la otra también muestra cara. Pero antes de mirar, cada moneda ya está en un estado definido.

Con qubits entrelazados, la situación es fundamentalmente diferente. Antes de la medición, ningún Qubit tiene un valor definido por sí solo. Solo el par tiene un estado bien definido. Medir un Qubit afecta instantáneamente las probabilidades del otro, sin importar qué tan lejos estén. Este es un efecto puramente cuántico: no puede explicarse por estadísticas clásicas ni por información oculta sobre los qubits individuales.

Medir los estados

Finalmente, se miden ambos qubits. Cuando medimos, el estado cuántico colapsa a uno de los estados clásicamente permitidos:

• 00 con probabilidad $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 con probabilidad $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Esto reproduce los resultados de medición correlacionados que observamos en el Circuit en la Lección 1.

Conclusión

En esta lección, hemos hecho un recorrido acelerado por los conceptos de mecánica cuántica y las herramientas matemáticas necesarias para ejecutar con confianza e independencia Circuits cuánticos en un computador cuántico. Introdujimos cómo se representan los estados cuánticos, cómo los Gates transforman esos estados, cómo funciona la medición y cómo la superposición y el entrelazamiento surgen naturalmente de Circuits simples.

En la Lección 3, pondremos estas ideas en práctica recorriendo el flujo de trabajo completo para resolver un problema de prueba en un computador cuántico e interpretando los resultados.

Objetivo de aprendizaje

Recuerda el objetivo de aprendizaje de la Lección 1, donde te desafiamos a cambiar el Circuit para crear el estado de Bell $\Psi^-$. Ahora, usando ese Circuit, trabaja el álgebra matricial y confirma que tu Circuit produce el estado deseado. (Pista: necesitarás determinar la forma matricial de un Gate NOT o X.)