Información cuántica

Ahora estamos listos para avanzar a la información cuántica, donde hacemos una elección diferente para el tipo de vector que representa un estado — en este caso un estado cuántico — del sistema que se está considerando. Al igual que en la discusión anterior sobre información clásica, nos ocuparemos de sistemas que tienen conjuntos finitos y no vacíos de estados clásicos, y haremos uso de gran parte de la misma notación.

Vectores de estado cuántico

Un estado cuántico de un sistema está representado por un vector columna, similar a un estado probabilístico. Como antes, los índices del vector etiquetan los estados clásicos del sistema. Los vectores que representan estados cuánticos se caracterizan por estas dos propiedades:

1. Las entradas de un vector de estado cuántico son números complejos.
2. La suma de los valores absolutos al cuadrado de las entradas de un vector de estado cuántico es $1.$

Así, en contraste con los estados probabilísticos, los vectores que representan estados cuánticos no necesitan tener entradas de números reales no negativos, y es la suma de los valores absolutos al cuadrado de las entradas (en oposición a la suma de las entradas) la que debe ser igual a $1.$ Por simples que sean estos cambios, dan lugar a las diferencias entre información cuántica y clásica; cualquier aceleración de una computadora cuántica, o mejora de un protocolo de comunicación cuántica, se deriva en última instancia de estos simples cambios matemáticos.

La norma euclidiana de un vector columna

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

se denota y define de la siguiente manera:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

La condición de que la suma de los valores absolutos al cuadrado de un vector de estado cuántico sea igual a $1$ es por lo tanto equivalente a que ese vector tenga norma euclidiana igual a $1.$ Es decir, los vectores de estado cuántico son vectores unitarios con respecto a la norma euclidiana.

Ejemplos de estados de qubit

El término qubit se refiere a un sistema cuántico cuyo conjunto de estados clásicos es $\{0,1\}.$ Es decir, un qubit es realmente solo un bit — pero al usar este nombre reconocemos explícitamente que este bit puede estar en un estado cuántico.

Estos son ejemplos de estados cuánticos de un qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{y}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

y

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Los primeros dos ejemplos, $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle,$ ilustran que los elementos de base estándar son vectores de estado cuántico válidos: sus entradas son números complejos, donde la parte imaginaria de estos números todos resultan ser $0,$ y calcular la suma de los valores absolutos al cuadrado de las entradas produce

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{y}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

según se requiere. Similar al entorno clásico, asociamos los vectores de estado cuántico $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$ con un qubit estando en el estado clásico $0$ y $1,$ respectivamente.

Para los otros dos ejemplos, nuevamente tenemos entradas de números complejos, y calcular la suma del valor absoluto al cuadrado de las entradas produce

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

y

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Por lo tanto, estos son vectores de estado cuántico válidos. Tenga en cuenta que son combinaciones lineales de los estados base estándar $\vert 0 \rangle$ y $\vert 1 \rangle,$ y por esta razón a menudo decimos que son superposiciones de los estados $0$ y $1.$ Dentro del contexto de estados cuánticos, superposición y combinación lineal son esencialmente sinónimos.

El ejemplo $(1)$ de un vector de estado de qubit arriba es muy comúnmente encontrado — se llama el estado plus y se denota de la siguiente manera:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

También usamos la notación

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

para referirnos a un vector de estado cuántico relacionado donde la segunda entrada es negativa en lugar de positiva, y llamamos a este estado el estado minus.

Este tipo de notación, donde algún símbolo distinto a uno que se refiere a un estado clásico aparece dentro de un ket, es común — podemos usar cualquier nombre que deseemos dentro de un ket para nombrar un vector. Es bastante común usar la notación $\vert\psi\rangle,$ o un nombre diferente en lugar de $\psi,$ para referirnos a un vector arbitrario que puede no ser necesariamente un vector base estándar.

Note que, si tenemos un vector $\vert \psi \rangle$ cuyos índices corresponden a algún conjunto de estados clásicos $\Sigma,$ y si $a\in\Sigma$ es un elemento de este conjunto de estados clásicos, entonces el producto matricial $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ es igual a la entrada del vector $\vert \psi \rangle$ cuyo índice corresponde a $a.$ Como hicimos cuando $\vert \psi \rangle$ era un vector base estándar, escribimos $\langle a \vert \psi \rangle$ en lugar de $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ por legibilidad.

Por ejemplo, si $\Sigma = \{0,1\}$ y

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

entonces

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{y}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

En general, al usar la notación de Dirac para vectores arbitrarios, la notación $\langle \psi \vert$ se refiere al vector fila obtenido al tomar la transpuesta conjugada del vector columna $\vert\psi\rangle,$ donde el vector se transpone de un vector columna a un vector fila y cada entrada se reemplaza por su conjugado complejo. Por ejemplo, si $\vert\psi\rangle$ es el vector definido en $(2),$ entonces

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

La razón por la que tomamos el conjugado complejo, además de la transposición, se hará más clara más adelante cuando discutamos productos internos.

Estados cuánticos de otros sistemas

Podemos considerar estados cuánticos de sistemas que tienen conjuntos de estados clásicos arbitrarios. Por ejemplo, aquí hay un vector de estado cuántico para un interruptor de ventilador eléctrico:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

La suposición en juego aquí es que los estados clásicos están ordenados como high, medium, low, off. Puede no haber una razón particular por la que alguien querría considerar un estado cuántico de un interruptor de ventilador eléctrico, pero es posible en principio.

Aquí hay otro ejemplo, esta vez de un dígito decimal cuántico cuyos estados clásicos son $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Este ejemplo ilustra la conveniencia de escribir vectores de estado usando la notación de Dirac. Para este ejemplo particular, la representación de vector columna es meramente engorrosa — pero si hubiera significativamente más estados clásicos se volvería inutilizable. La notación de Dirac, en contraste, admite descripciones precisas de vectores grandes y complicados en forma compacta.

La notación de Dirac también permite la expresión de vectores donde diferentes aspectos de los vectores son indeterminados, lo que significa que son desconocidos o aún no están establecidos. Por ejemplo, para un conjunto de estados clásicos arbitrario $\Sigma,$ podemos considerar el vector de estado cuántico

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

donde la notación $\sqrt{|\Sigma|}$ se refiere a la norma euclidiana de $\Sigma,$ y $\vert\Sigma\vert$ en este caso es simplemente el número de elementos en $\Sigma.$ En palabras, esta es una superposición uniforme sobre los estados clásicos en $\Sigma.$

Encontraremos expresiones mucho más complicadas de vectores de estado cuántico en lecciones posteriores, donde el uso de representaciones de vectores columna sería impráctico o imposible. De hecho, en su mayoría abandonaremos la representación de vector columna de vectores de estado, excepto para vectores que tienen un pequeño número de entradas (a menudo en el contexto de ejemplos), donde puede ser útil mostrar y examinar las entradas explícitamente.

Aquí hay una razón más por la que expresar vectores de estado usando la notación de Dirac es conveniente: alivia la necesidad de especificar explícitamente un ordenamiento de los estados clásicos (o, equivalentemente, la correspondencia entre estados clásicos e índices de vectores).

Por ejemplo, un vector de estado cuántico para un sistema que tiene el conjunto de estados clásicos $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ tal como

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

está descrito sin ambigüedad por esta expresión, y realmente no hay necesidad de elegir o especificar un ordenamiento de este conjunto de estados clásicos para dar sentido a la expresión. En este caso, no es difícil especificar un ordenamiento de los palos estándar de cartas — por ejemplo, podríamos elegir ordenarlos así: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Si elegimos este ordenamiento particular, el vector de estado cuántico anterior estaría representado por el vector columna

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

En general, sin embargo, es conveniente poder simplemente ignorar el tema de cómo se ordenan los conjuntos de estados clásicos.

Midiendo estados cuánticos

A continuación consideremos qué sucede cuando se mide un estado cuántico, enfocándonos en un tipo simple de medición conocido como medición de base estándar. (Hay nociones más generales de medición que discutiremos más adelante.)

Similar al entorno probabilístico, cuando un sistema en un estado cuántico se mide, el observador hipotético que realiza la medición no verá un vector de estado cuántico, sino que verá algún estado clásico. En este sentido, las mediciones actúan como una interfaz entre información cuántica y clásica, a través de la cual se extrae información clásica de estados cuánticos.

La regla es simple: si se mide un estado cuántico, cada estado clásico del sistema aparece con probabilidad igual al valor absoluto al cuadrado de la entrada en el vector de estado cuántico correspondiente a ese estado clásico. Esto se conoce como la regla de Born en mecánica cuántica. Observe que esta regla es consistente con el requisito de que los valores absolutos al cuadrado de las entradas en un vector de estado cuántico sumen $1,$ ya que implica que las probabilidades de diferentes resultados de medición de estados clásicos suman $1.$

Por ejemplo, medir el estado plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

resulta en los dos posibles resultados, $0$ y $1,$ con probabilidades de la siguiente manera.

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado es 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{resultado es 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Curiosamente, medir el estado minus

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

resulta en exactamente las mismas probabilidades para los dos resultados.

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado es 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{resultado es 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Esto sugiere que, en lo que respecta a las mediciones de base estándar, los estados plus y minus no son diferentes. ¿Por qué, entonces, nos importaría hacer una distinción entre ellos? La respuesta es que estos dos estados se comportan de manera diferente cuando se realizan operaciones sobre ellos, como discutiremos en la siguiente subsección a continuación.

Por supuesto, medir el estado cuántico $\vert 0\rangle$ resulta en el estado clásico $0$ con certeza, y de manera similar medir el estado cuántico $\vert 1\rangle$ resulta en el estado clásico $1$ con certeza. Esto es consistente con la identificación de estos estados cuánticos con el sistema estando en el estado clásico correspondiente, como se sugirió anteriormente.

Como ejemplo final, medir el estado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

hace que los dos posibles resultados aparezcan con probabilidades de la siguiente manera:

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado es 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

y

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado es 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operaciones unitarias

Hasta ahora, puede no ser evidente por qué la información cuántica es fundamentalmente diferente de la información clásica. Es decir, cuando se mide un estado cuántico, la probabilidad de obtener cada estado clásico está dada por el valor absoluto al cuadrado de la entrada correspondiente del vector — entonces ¿por qué no simplemente registrar estas probabilidades en un vector de probabilidad?

La respuesta, al menos en parte, es que el conjunto de operaciones permitidas que se pueden realizar en un estado cuántico es diferente al de la información clásica. Similar al entorno probabilístico, las operaciones sobre estados cuánticos son mapeos lineales — pero en lugar de estar representadas por matrices estocásticas, como en el caso clásico, las operaciones sobre vectores de estado cuántico están representadas por matrices unitarias.

Una matriz cuadrada $U$ que tiene entradas de números complejos es unitaria si satisface las ecuaciones

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Aquí, $\mathbb{I}$ es la matriz identidad, y $U^{\dagger}$ es la transpuesta conjugada de $U,$ lo que significa la matriz obtenida al transponer $U$ y tomar el conjugado complejo de cada entrada.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Si cualquiera de las dos igualdades numeradas $(3)$ arriba es verdadera, entonces la otra también debe ser verdadera. Ambas igualdades son equivalentes a que $U^{\dagger}$ sea la inversa de $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Advertencia: si $M$ no es una matriz cuadrada, entonces podría ser que $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ y $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ por ejemplo. La equivalencia de las dos igualdades en la primera ecuación arriba solo es verdadera para matrices cuadradas.)

La condición de que $U$ sea unitaria es equivalente a la condición de que la multiplicación por $U$ no cambia la norma euclidiana de ningún vector. Es decir, una matriz $n\times n$ $U$ es unitaria si y solo si $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ para cada vector columna $\vert \psi \rangle$ de $n$ dimensiones con entradas de números complejos. Así, debido a que el conjunto de todos los vectores de estado cuántico es el mismo que el conjunto de vectores que tienen norma euclidiana igual a $1,$ multiplicar una matriz unitaria a un vector de estado cuántico resulta en otro vector de estado cuántico.

De hecho, las matrices unitarias son exactamente el conjunto de mapeos lineales que siempre transforman vectores de estado cuántico en otros vectores de estado cuántico. Note aquí una semejanza con el caso probabilístico clásico donde las operaciones están asociadas con matrices estocásticas, que son las que siempre transforman vectores de probabilidad en vectores de probabilidad.

Ejemplos de operaciones unitarias en qubits

La siguiente lista describe algunas operaciones unitarias comúnmente encontradas en qubits.

1. Operaciones de Pauli. Las cuatro matrices de Pauli son las siguientes:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Una notación alternativa común es $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ y $Z = \sigma_z$ (pero tenga en cuenta que las letras $X,$ $Y,$ y $Z$ también se usan comúnmente para otros propósitos). La operación $X$ también se llama bit flip u operación NOT porque induce esta acción en bits:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{y} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   La operación $Z$ también se llama phase flip, y tiene esta acción:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{y} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operación de Hadamard. La operación de Hadamard se describe por esta matriz:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operaciones de fase. Una operación de fase es una descrita por la matriz

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   para cualquier elección de un número real $\theta.$ Las operaciones

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   son ejemplos particularmente importantes. Otros ejemplos incluyen $\mathbb{I} = P_0$ y $Z = P_{\pi}.$

Todas las matrices recién definidas son unitarias, y por lo tanto representan operaciones cuánticas en un solo qubit. Por ejemplo, aquí hay un cálculo que verifica que $H$ es unitaria:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Y aquí está la acción de la operación de Hadamard en algunos vectores de estado de qubit comúnmente encontrados.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Más sucintamente, obtenemos estas cuatro ecuaciones.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Vale la pena hacer una pausa para considerar el hecho de que $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ y $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ a la luz de la pregunta sugerida en la sección anterior sobre la distinción entre los estados $\vert {+} \rangle$ y $\vert {-} \rangle.$

Imagine una situación en la que un qubit se prepara en uno de los dos estados cuánticos $\vert {+} \rangle$ y $\vert {-} \rangle,$ pero donde no se nos conoce cuál es. Medir cualquiera de los estados produce la misma distribución de salida que el otro, como ya observamos: $0$ y $1$ ambos aparecen con probabilidad igual $1/2,$ lo que no proporciona información alguna sobre cuál de los dos estados fue preparado.

Sin embargo, si primero aplicamos una operación de Hadamard y luego medimos, obtenemos el resultado $0$ con certeza si el estado original era $\vert {+} \rangle,$ y obtenemos el resultado $1,$ nuevamente con certeza, si el estado original era $\vert {-} \rangle.$ Los estados cuánticos $\vert {+} \rangle$ y $\vert {-} \rangle$ pueden por lo tanto ser discriminados perfectamente. Esto revela que los cambios de signo, o más generalmente cambios en las fases (que también se llaman tradicionalmente argumentos) de las entradas de números complejos de un vector de estado cuántico, pueden cambiar significativamente ese estado.

Aquí hay otro ejemplo, mostrando cómo una operación de Hadamard actúa sobre un vector de estado que se menciónó anteriormente.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

A continuación, consideremos la acción de una operación $T$ en un estado plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Note aquí que no nos molestamos en convertir a las formas equivalentes de matriz/vector, y en su lugar usamos la linealidad de la multiplicación de matrices junto con las fórmulas

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{y}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

A lo largo de líneas similares, podemos calcular el resultado de aplicar una operación de Hadamard al vector de estado cuántico recién obtenido:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Los dos enfoques — uno donde convertimos explícitamente a representaciones de matrices y el otro donde usamos linealidad y conectamos las acciones de una operación en estados base estándar — son equivalentes. Podemos usar cualquiera que sea más conveniente en el caso en cuestión.

Composiciones de operaciones unitarias de qubit

Las composiciones de operaciones unitarias están representadas por multiplicación de matrices, justo como teníamos en el entorno probabilístico.

Por ejemplo, suponga que primero aplicamos una operación de Hadamard, seguida de una operación $S$, seguida de otra operación de Hadamard. La operación resultante, que nombraremos $R$ para este ejemplo, es la siguiente:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Esta operación unitaria $R$ es un ejemplo interesante. Al aplicar esta operación dos veces, que es equivalente a elevar al cuadrado su representación matricial, obtenemos una operación NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Es decir, $R$ es una operación raíz cuadrada de NOT. Tal comportamiento, donde la misma operación se aplica dos veces para producir una operación NOT, no es posible para una operación clásica en un solo bit.

Operaciones unitarias en sistemas más grandes

En lecciones subsiguientes, veremos muchos ejemplos de operaciones unitarias en sistemas que tienen más de dos estados clásicos. Un ejemplo de una operación unitaria en un sistema que tiene tres estados clásicos está dado por la siguiente matriz.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Asumiendo que los estados clásicos del sistema son $0,$ $1,$ y $2,$ podemos describir esta operación como suma módulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{y}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

La matriz $A$ es un ejemplo de una matriz de permutación, que es una matriz en la que cada fila y columna tiene exactamente un $1.$ Tales matrices simplemente reorganizan, o permutan, las entradas de los vectores sobre los que actúan. La matriz identidad es quizás el ejemplo más simple de una matriz de permutación, y otro ejemplo es la operación NOT en un bit o qubit. Cada matriz de permutación, en cualquier dimensión entera positiva, es unitaria. Estos son los únicos ejemplos de matrices que representan tanto operaciones clásicas como cuánticas: una matriz es tanto estocástica como unitaria si y solo si es una matriz de permutación.

Otro ejemplo de una matriz unitaria, esta vez siendo una matriz $4\times 4$, es esta:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Esta matriz describe una operación conocida como la transformada cuántica de Fourier, específicamente en el caso $4\times 4$. La transformada cuántica de Fourier puede definirse más generalmente, para cualquier dimensión entera positiva $n,$ y juega un papel clave en los algoritmos cuánticos.