Información cuántica

Ahora estamos preparados para avanzar a la información cuántica en el contexto de sistemas múltiples. Al igual que en la lección anterior sobre sistemas únicos, la descripción matemática de la información cuántica para sistemas múltiples es bastante similar al caso probabilístico y hace uso de conceptos y técnicas similares.

Estados cuánticos

Los sistemas múltiples pueden verse colectivamente como sistemas únicos y compuestos. Ya hemos observado esto en el entorno probabilístico, y el entorno cuántico es análogo. Por lo tanto, los estados cuánticos de sistemas múltiples están representados por vectores columna que tienen entradas de números complejos y norma euclidiana igual a $1,$ justo como los estados cuánticos de sistemas únicos. En el caso de sistemas múltiples, las entradas de estos vectores se colocan en correspondencia con el producto cartesiano de los conjuntos de estados clásicos asociados con cada uno de los sistemas individuales, porque ese es el conjunto de estados clásicos del sistema compuesto.

Por ejemplo, si $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son qubits, entonces el conjunto de estados clásicos del par de qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ visto colectivamente como un sistema único, es el producto cartesiano $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Al representar pares de valores binarios como cadenas binarias de longitud dos, asociamos este conjunto de producto cartesiano con el conjunto $\{00,01,10,11\}.$ Los siguientes vectores son por lo tanto todos ejemplos de vectores de estado cuántico del par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{y} \quad \vert 01 \rangle.$$

Hay variaciones sobre cómo se expresan los vectores de estado cuántico de sistemas múltiples, y podemos elegir cualquier variación que se adapte a nuestras preferencias. Aquí hay algunos ejemplos para el primer vector de estado cuántico anterior.

1. Podemos usar el hecho de que $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (para cualesquiera estados clásicos $a$ y $b$) para escribir en su lugar

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Podemos elegir escribir el símbolo del producto tensorial explícitamente así:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Podemos poner subíndices en los kets para indicar cómo corresponden a los sistemas que se están considerando, así:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Por supuesto, también podemos escribir vectores de estado cuántico explícitamente como vectores columna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Dependiendo del contexto en el que aparezca, una de estas variaciones puede ser preferida — pero todas son equivalentes en el sentido de que describen el mismo vector.

Productos tensoriales de vectores de estado cuántico

Similar a lo que tenemos para vectores de probabilidad, los productos tensoriales de vectores de estado cuántico también son vectores de estado cuántico — y nuevamente representan independencia entre sistemas.

En mayor detalle, y comenzando con el caso de dos sistemas, suponga que $\vert \phi \rangle$ es un vector de estado cuántico de un sistema $\mathsf{X}$ y $\vert \psi \rangle$ es un vector de estado cuántico de un sistema $\mathsf{Y}.$ El producto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ que alternativamente puede escribirse como $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ o como $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ es entonces un vector de estado cuántico del sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Nuevamente nos referimos a un estado de esta forma como un estado producto.

Intuitivamente hablando, cuando un par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está en un estado producto $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ podemos interpretar esto como que significa que $\mathsf{X}$ está en el estado cuántico $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ está en el estado cuántico $\vert \psi \rangle,$ y los estados de los dos sistemas no tienen nada que ver entre sí.

El hecho de que el vector de producto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ sea de hecho un vector de estado cuántico es consistente con que la norma euclidiana sea multiplicativa con respecto a los productos tensoriales:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Debido a que $\vert \phi \rangle$ y $\vert \psi \rangle$ son vectores de estado cuántico, tenemos $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ y $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ y por lo tanto $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ así que $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ también es un vector de estado cuántico.

Esto se generaliza a más de dos sistemas. Si $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ son vectores de estado cuántico de sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ entonces $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ es un vector de estado cuántico que representa un estado producto del sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Nuevamente, sabemos que este es un vector de estado cuántico porque

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Estados entrelazados

No todos los vectores de estado cuántico de sistemas múltiples son estados producto. Por ejemplo, el vector de estado cuántico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

de dos qubits no es un estado producto. Para razonar esto, podemos seguir exactamente el mismo argumento que usamos en la sección anterior para un estado probabilístico. Es decir, si $(1)$ fuera un estado producto, existirían vectores de estado cuántico $\vert\phi\rangle$ y $\vert\psi\rangle$ para los cuales

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Pero entonces necesariamente sería el caso de que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

lo que implica que $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ o $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (o ambos). Eso contradice el hecho de que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

y

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

son ambos distintos de cero. Así, el vector de estado cuántico $(1)$ representa una correlación entre dos sistemas, y específicamente decimos que los sistemas están entrelazados.

Note que el valor específico $1/\sqrt{2}$ no es importante para este argumento — todo lo que es importante es que este valor sea distinto de cero. Así, por ejemplo, el estado cuántico

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

tampoco es un estado producto, por el mismo argumento.

El entrelazamiento es una característica quintaesencial de la información cuántica que se discutirá con mayor detalle en una lección posterior. El entrelazamiento puede ser complicado, particularmente para los tipos de estados cuánticos ruidosos que pueden describirse mediante matrices de densidad (que se discuten en el curso Formulación general de información cuántica, que es el tercer curso de la serie Comprendiendo la información y computación cuántica). Para vectores de estado cuántico, sin embargo, el entrelazamiento es equivalente a correlación: cualquier vector de estado cuántico que no sea un estado producto representa un estado entrelazado.

En contraste, el vector de estado cuántico

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

es un ejemplo de un estado producto.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Por lo tanto, este estado no está entrelazado.

Estados de Bell

Ahora echaremos un vistazo a algunos ejemplos importantes de estados cuánticos de múltiples qubits, comenzando con los estados de Bell. Estos son los siguientes cuatro estados de dos qubits:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Los estados de Bell son nombrados así en honor a John Bell. Note que el mismo argumento que establece que $\vert\phi^+\rangle$ no es un estado producto revela que ninguno de los otros estados de Bell son estados producto tampoco: todos los cuatro estados de Bell representan entrelazamiento entre dos qubits.

La colección de los cuatro estados de Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

se conoce como la base de Bell. Fiel a su nombre, esta es una base; cualquier vector de estado cuántico de dos qubits, o de hecho cualquier vector complejo en absoluto que tenga entradas correspondientes a los cuatro estados clásicos de dos bits, puede expresarse como una combinación lineal de los cuatro estados de Bell. Por ejemplo,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Estados GHZ y W

A continuación consideraremos dos ejemplos interesantes de estados de tres qubits. El primer ejemplo es el estado GHZ (llamado así en honor a Daniel Greenberger, Michael Horne y Anton Zeilinger, quienes estudiaron por primera vez algunas de sus propiedades):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

El segundo ejemplo es el llamado estado W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Ninguno de estos estados es un estado producto, lo que significa que no pueden escribirse como un producto tensorial de tres vectores de estado cuántico de qubit. Examinaremos ambos estados más adelante cuando discutamos mediciones parciales de estados cuánticos de sistemas múltiples.

Ejemplos adicionales

Los ejemplos de estados cuánticos de sistemas múltiples que hemos visto hasta ahora son estados de dos o tres qubits, pero también podemos considerar estados cuánticos de sistemas múltiples que tienen diferentes conjuntos de estados clásicos.

Por ejemplo, aquí hay un estado cuántico de tres sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ y $\mathsf{Z},$ donde el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{X}$ es el alfabeto binario (así que $\mathsf{X}$ es un qubit) y el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{Y}$ y $\mathsf{Z}$ es $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Y aquí hay un ejemplo de un estado cuántico de tres sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ y $\mathsf{Z},$ que todos comparten el mismo conjunto de estados clásicos $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Los sistemas que tienen el conjunto de estados clásicos $\{0,1,2\}$ a menudo se llaman trits o (asumiendo que pueden estar en un estado cuántico) qutrits. El término qudit se refiere a un sistema que tiene el conjunto de estados clásicos $\{0,\ldots,d-1\}$ para una elección arbitraria de $d.$

Mediciones de estados cuánticos

Las mediciones de base estándar de estados cuánticos de sistemas únicos se discutieron en la lección anterior: si un sistema que tiene un conjunto de estados clásicos $\Sigma$ está en un estado cuántico representado por el vector $\vert \psi \rangle,$ y ese sistema se mide (con respecto a una medición de base estándar), entonces cada estado clásico $a\in\Sigma$ aparece con probabilidad $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Esto nos dice qué sucede cuando tenemos un estado cuántico de sistemas múltiples y elegimos medir todo el sistema compuesto, que es equivalente a medir todos los sistemas.

Para establecer esto con precisión, supongamos que $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ son sistemas que tienen conjuntos de estados clásicos $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ respectivamente. Entonces podemos ver $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ colectivamente como un sistema único cuyo conjunto de estados clásicos es el producto cartesiano $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Si un estado cuántico de este sistema está representado por el vector de estado cuántico $\vert\psi\rangle,$ y todos los sistemas se miden, entonces cada posible resultado $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ aparece con probabilidad $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Por ejemplo, si los sistemas $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ están conjuntamente en el estado cuántico

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

entonces medir ambos sistemas con mediciones de base estándar produce el resultado $(0,\heartsuit)$ con probabilidad $9/25$ y el resultado $(1,\spadesuit)$ con probabilidad $16/25.$

Mediciones parciales

Ahora consideremos la situación en la que tenemos sistemas múltiples en algún estado cuántico, y medimos un subconjunto propio de los sistemas. Como antes, comenzaremos con dos sistemas $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ que tienen conjuntos de estados clásicos $\Sigma$ y $\Gamma,$ respectivamente.

En general, un vector de estado cuántico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ toma la forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

donde $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ es una colección de números complejos que satisfacen

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

que es equivalente a que $\vert \psi \rangle$ sea un vector unitario.

Ya sabemos, de la discusión anterior, que si tanto $\mathsf{X}$ como $\mathsf{Y}$ se miden, entonces cada posible resultado $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ aparece con probabilidad

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Si en cambio suponemos que solo el primer sistema $\mathsf{X}$ se mide, la probabilidad de que cada resultado $a\in\Sigma$ aparezca debe por lo tanto ser igual a

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Esto es consistente con lo que ya vimos en el entorno probabilístico, así como con nuestra comprensión actual de la física: la probabilidad de que cada resultado aparezca cuando $\mathsf{X}$ se mide no puede posiblemente depender de si $\mathsf{Y}$ también fue medido o no, ya que eso permitiría una comunicación más rápida que la luz.

Habiendo obtenido un resultado particular $a\in\Sigma$ de una medición de base estándar de $\mathsf{X},$ naturalmente esperamos que el estado cuántico de $\mathsf{X}$ cambie de modo que sea igual a $\vert a\rangle,$ justo como teníamos para sistemas únicos. Pero ¿qué sucede con el estado cuántico de $\mathsf{Y}$?

Para responder a esta pregunta, podemos primero expresar el vector $\vert\psi\rangle$ como

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

donde

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

para cada $a\in\Sigma.$ Aquí estamos siguiendo la misma metodología que en el caso probabilístico, de aislar los estados base estándar del sistema que se está midiendo. La probabilidad de que la medición de base estándar de $\mathsf{X}$ dé cada resultado $a$ es la siguiente:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Y, como resultado de que la medición de base estándar de $\mathsf{X}$ dé el resultado $a,$ el estado cuántico del par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ juntos se convierte en

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Es decir, el estado "colapsa" como en el caso de sistema único, pero solo en la medida en que se requiera para que el estado sea consistente con que la medición de $\mathsf{X}$ haya producido el resultado $a.$

Hablando informalmente, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ representa el componente de $\vert \psi\rangle$ que es consistente con que una medición de $\mathsf{X}$ resulte en el resultado $a.$ Luego normalizamos este vector — dividiéndolo por su norma euclidiana, que es igual a $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — para obtener un vector de estado cuántico válido que tenga norma euclidiana igual a $1.$ Este paso de normalización es análogo a lo que hicimos en el entorno probabilístico cuando dividimos vectores por la suma de sus entradas para obtener un vector de probabilidad.

Como ejemplo, consideremos el estado de dos qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ del comienzo de la sección:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Para entender qué sucede cuando el primer sistema $\mathsf{X}$ se mide, comenzamos escribiendo

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Ahora vemos, basado en la descripción anterior, que la probabilidad de que la medición resulte en el resultado $0$ es

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se convierte en

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

y la probabilidad de que la medición resulte en el resultado $1$ es

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se convierte en

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

La misma técnica, usada de manera simétrica, describe qué sucede si el segundo sistema $\mathsf{Y}$ se mide en lugar del primero. Esta vez reescribimos el vector $\vert \psi \rangle$ como

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

La probabilidad de que la medición de $\mathsf{Y}$ dé el resultado $0$ es

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se convierte en

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

y la probabilidad de que el resultado de la medición sea $1$ es

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

en cuyo caso el estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se convierte en

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Observación sobre estados cuánticos reducidos

El ejemplo anterior muestra una limitación de la descripción simplificada de información cuántica, que es que no nos ofrece una manera de describir el estado cuántico reducido (o marginal) de solo uno de dos sistemas (o de un subconjunto propio de cualquier número de sistemas) como en el caso probabilístico.

Específicamente, para un estado probabilístico de dos sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descrito por un vector de probabilidad

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

podemos escribir el estado probabilístico reducido o marginal de $\mathsf{X}$ solo como

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Para vectores de estado cuántico, no hay una manera análoga de hacer esto. En particular, para un vector de estado cuántico

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

el vector

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

no es un vector de estado cuántico en general, y no representa apropiadamente el concepto de un estado reducido o marginal.

Lo que podemos hacer en su lugar es recurrir a la noción de una matriz de densidad, que se discute en el curso Formulación general de información cuántica. Las matrices de densidad nos proporcionan una manera significativa de definir estados cuánticos reducidos que es análoga al entorno probabilístico.

Mediciones parciales para tres o más sistemas

Las mediciones parciales para tres o más sistemas, donde se mide algún subconjunto propio de los sistemas, pueden reducirse al caso de dos sistemas dividiendo los sistemas en dos colecciones, aquellos que se miden y aquellos que no. Aquí hay un ejemplo específico que ilustra cómo esto puede hacerse. Demuestra específicamente cómo poner subíndices en los kets por los nombres de los sistemas que representan puede ser útil — en este caso porque nos da una manera simple de describir permutaciones de los sistemas.

Para este ejemplo, consideraremos un estado cuántico de una 5-tupla de sistemas $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ donde todos estos cinco sistemas comparten el mismo conjunto de estados clásicos $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Consideraremos la situación en la que se miden el primer y tercer sistemas, y los sistemas restantes se dejan solos.

Conceptualmente hablando, no hay una diferencia fundamental entre esta situación y una en la que se mide uno de dos sistemas. Desafortunadamente, debido a que los sistemas medidos están intercalados con los sistemas no medidos, enfrentamos un obstáculo al escribir las expresiones necesarias para realizar estos cálculos.

Una manera de proceder, como se sugirió anteriormente, es poner subíndices en los kets para indicar a qué sistemas se refieren. Esto nos da una manera de hacer un seguimiento de los sistemas mientras permutamos el ordenamiento de los kets, lo que hace que las matemáticas sean más simples.

Primero, el vector de estado cuántico anterior alternativamente puede escribirse como

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nada ha cambiado, excepto que cada ket ahora tiene un subíndice indicando a qué sistema corresponde. Aquí hemos usado los subíndices $0,\ldots,4,$ pero también podrían usarse los nombres de los sistemas mismos (en una situación donde tenemos nombres de sistemas como $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ y $\mathsf{Z},$ por ejemplo).

Ahora podemos reordenar los kets y recopilar términos de la siguiente manera:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Los productos tensoriales todavía están implícitos, incluso cuando se usan paréntesis, como en este ejemplo.

Para ser claros sobre permutar los kets, los productos tensoriales no son conmutativos: si $\vert \phi\rangle$ y $\vert \pi \rangle$ son vectores, entonces, en general, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ es diferente de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ y de manera similar para productos tensoriales de tres o más vectores. Por ejemplo, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ es un vector diferente de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Reordenar los kets como acabamos de hacer no debe interpretarse como sugerencia de lo contrario.

Más bien, por el bien de realizar cálculos, simplemente estamos tomando una decisión de que es más conveniente recopilar los sistemas juntos como $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ en lugar de $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Los subíndices en los kets sirven para mantener todo esto ordenado, y somos libres de volver al ordenamiento original más tarde si deseamos hacer eso.

Ahora vemos que, si los sistemas $\mathsf{X}_4$ y $\mathsf{X}_2$ se miden, las probabilidades (distintas de cero) de los diferentes resultados son las siguientes:

• El resultado de medición $(\heartsuit,\diamondsuit)$ ocurre con probabilidad

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• El resultado de medición $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ ocurre con probabilidad

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• El resultado de medición $(\spadesuit,\clubsuit)$ ocurre con probabilidad

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Si el resultado de medición es $(\heartsuit,\diamondsuit),$ por ejemplo, el estado resultante de nuestros cinco sistemas se convierte en

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Aquí, para la respuesta final, hemos vuelto a nuestro ordenamiento original de los sistemas, solo para ilustrar que podemos hacer esto. Para los otros posibles resultados de medición, el estado puede determinarse de manera similar.

Finalmente, aquí hay dos ejemplos prometidos anteriormente, comenzando con el estado GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Si solo se mide el primer sistema, obtenemos el resultado $0$ con probabilidad $1/2,$ en cuyo caso el estado de los tres qubits se convierte en $\vert 000\rangle;$ y también obtenemos el resultado $1$ con probabilidad $1/2,$ en cuyo caso el estado de los tres qubits se convierte en $\vert 111\rangle.$

Para un estado W, por otro lado, asumiendo nuevamente que solo se mide el primer sistema, comenzamos escribiendo este estado así:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

La probabilidad de que una medición del primer qubit resulte en el resultado 0 es por lo tanto igual a

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

y condicionado a que la medición produzca este resultado, el estado cuántico de los tres qubits se convierte en

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

La probabilidad de que el resultado de medición sea 1 es $1/3,$ en cuyo caso el estado de los tres qubits se convierte en $\vert 100\rangle.$

El estado W es simétrico, en el sentido de que no cambia si permutamos los qubits. Por lo tanto, obtenemos una descripción similar para medir el segundo o tercer qubit en lugar del primero.

Operaciones unitarias

En principio, cualquier matriz unitaria cuyas filas y columnas correspondan a los estados clásicos de un sistema representa una operación cuántica válida en ese sistema. Esto, por supuesto, sigue siendo cierto para sistemas compuestos, cuyos conjuntos de estados clásicos resultan ser productos cartesianos de los conjuntos de estados clásicos de los sistemas individuales.

Enfocándonos en dos sistemas, si $\mathsf{X}$ es un sistema que tiene un conjunto de estados clásicos $\Sigma,$ y $\mathsf{Y}$ es un sistema que tiene un conjunto de estados clásicos $\Gamma,$ entonces el conjunto de estados clásicos del sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ es $\Sigma\times\Gamma.$ Por lo tanto, las operaciones cuánticas en este sistema conjunto están representadas por matrices unitarias cuyas filas y columnas se colocan en correspondencia con el conjunto $\Sigma\times\Gamma.$ El ordenamiento de las filas y columnas de estas matrices es el mismo que el ordenamiento usado para vectores de estado cuántico del sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Por ejemplo, supongamos que $\Sigma = \{1,2,3\}$ y $\Gamma = \{0,1\},$ y recordemos que la convención estándar para ordenar los elementos del producto cartesiano $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ es esta:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Aquí hay un ejemplo de una matriz unitaria que representa una operación en $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Esta matriz unitaria no es especial, es solo un ejemplo. Para verificar que $U$ es unitaria, es suficiente calcular y verificar que $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ por ejemplo. Alternativamente, podemos verificar que las filas (o las columnas) sean ortonormales, lo que se hace más simple en este caso dado la forma particular de la matriz $U.$

La acción de $U$ en el vector base estándar $\vert 1, 1 \rangle,$ por ejemplo, es

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

que podemos ver examinando la segunda columna de $U,$ considerando nuestro ordenamiento del conjunto $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Al igual que con cualquier matriz, es posible expresar $U$ usando la notación de Dirac, que requeriría 20 términos para las 20 entradas distintas de cero de $U.$ Sin embargo, si escribiéramos todos estos términos, en lugar de escribir una matriz $6\times 6$, sería desordenado y los patrones que son evidentes de la expresión matricial probablemente no serían tan claros. Simplemente dicho, la notación de Dirac no siempre es la mejor opción.

Las operaciones unitarias en tres o más sistemas funcionan de manera similar, con las matrices unitarias teniendo filas y columnas correspondientes al producto cartesiano de los conjuntos de estados clásicos de los sistemas. Ya hemos visto un ejemplo en esta lección: la operación de tres qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

donde los números en bras y kets significan sus codificaciones binarias de $3$ bits. Además de ser una operación determinista, también es una operación unitaria. Las operaciones que son tanto deterministas como unitarias se llaman operaciones reversibles. La transpuesta conjugada de esta matriz puede escribirse así:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Esto representa la inversa, o en términos matemáticos el inverso, de la operación original — que es lo que esperamos de la transpuesta conjugada de una matriz unitaria. Veremos otros ejemplos de operaciones unitarias en sistemas múltiples a medida que continúa la lección.

Operaciones unitarias realizadas independientemente en sistemas individuales

Cuando se realizan operaciones unitarias independientemente en una colección de sistemas individuales, la acción combinada de estas operaciones independientes se describe por el producto tensorial de las matrices unitarias que las representan. Es decir, si $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ son sistemas cuánticos, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ son matrices unitarias que representan operaciones en estos sistemas, y las operaciones se realizan independientemente en los sistemas, la acción combinada en $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ está representada por la matriz $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Una vez más, encontramos que los entornos probabilístico y cuántico son análogos a este respecto.

Naturalmente se esperaría, al leer el párrafo anterior, que el producto tensorial de cualquier colección de matrices unitarias sea unitario. De hecho esto es cierto, y podemos verificarlo de la siguiente manera.

Note primero que la operación de transpuesta conjugada satisface

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

para cualesquiera matrices elegidas $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Esto puede verificarse volviendo a la definición del producto tensorial y de la transpuesta conjugada, y verificando que cada entrada de los dos lados de la ecuación estén en acuerdo. Esto significa que

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Debido a que el producto tensorial de matrices es multiplicativo, encontramos que

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Aquí hemos escrito $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ para referirnos a las matrices que representan la operación identidad en los sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ lo que significa que estas son matrices identidad cuyos tamaños concuerdan con el número de estados clásicos de $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Finalmente, el producto tensorial $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ es igual a la matriz identidad para la cual tenemos un número de filas y columnas que concuerda con el producto del número de filas y columnas de las matrices $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Esta matriz identidad más grande representa la operación identidad en el sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

En resumen, tenemos la siguiente secuencia de igualdades:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Por lo tanto, concluimos que $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ es unitaria.

Una situación importante que surge a menudo es aquella en la que se aplica una operación unitaria a solo un sistema — o un subconjunto propio de sistemas — dentro de un sistema conjunto más grande. Por ejemplo, suponga que $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son sistemas que podemos ver juntos como formando un sistema único y compuesto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ y realizamos una operación solo en el sistema $\mathsf{X}.$ Para ser precisos, supongamos que $U$ es una matriz unitaria que representa una operación en $\mathsf{X},$ de modo que sus filas y columnas se han colocado en correspondencia con los estados clásicos de $\mathsf{X}.$

Decir que realizamos la operación representada por $U$ solo en el sistema $\mathsf{X}$ implica que no hacemos nada a $\mathsf{Y},$ lo que significa que independientemente realizamos $U$ en $\mathsf{X}$ y la operación identidad en $\mathsf{Y}.$ Es decir, "no hacer nada" a $\mathsf{Y}$ es equivalente a realizar la operación identidad en $\mathsf{Y},$ que está representada por la matriz identidad $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Aquí, por cierto, el subíndice $\mathsf{Y}$ nos dice que $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ se refiere a la matriz identidad que tiene un número de filas y columnas en acuerdo con el conjunto de estados clásicos de $\mathsf{Y}.$) La operación en $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que se obtiene cuando realizamos $U$ en $\mathsf{X}$ y no hacemos nada a $\mathsf{Y}$ está por lo tanto representada por la matriz unitaria

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Por ejemplo, si $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son qubits, realizar una operación de Hadamard en $\mathsf{X}$ y no hacer nada a $\mathsf{Y}$ es equivalente a realizar la operación

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

en el sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

A lo largo de líneas similares, si se aplica una operación representada por una matriz unitaria $U$ a $\mathsf{Y}$ y no se hace nada a $\mathsf{X},$ la operación resultante en $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está representada por la matriz unitaria

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Por ejemplo, si nuevamente consideramos la situación en la que tanto $\mathsf{X}$ como $\mathsf{Y}$ son qubits y $U$ es una operación de Hadamard, la operación resultante en $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está representada por la matriz

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

No todas las operaciones unitarias en una colección de sistemas pueden escribirse como un producto tensorial de operaciones unitarias como este, al igual que no todo vector de estado cuántico de estos sistemas es un estado producto. Por ejemplo, ni la operación swap ni la operación controlled-NOT en dos qubits, que se describen a continuación, pueden expresarse como un producto tensorial de operaciones unitarias.

La operación swap

Para concluir la lección, echemos un vistazo a dos clases de ejemplos de operaciones unitarias en sistemas múltiples, comenzando con la operación swap.

Suponga que $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son sistemas que comparten el mismo conjunto de estados clásicos $\Sigma.$ La operación swap en el par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ es la operación que intercambia los contenidos de los dos sistemas, pero por lo demás deja los sistemas solos — de modo que $\mathsf{X}$ permanece a la izquierda y $\mathsf{Y}$ permanece a la derecha. Denotaremos esta operación como $\operatorname{SWAP},$ y opera así para cada elección de estados clásicos $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Una manera de escribir la matriz asociada con esta operación usando la notación de Dirac es la siguiente:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Puede no ser inmediatamente claro que esta matriz represente $\operatorname{SWAP},$ pero podemos verificar que satisface la condición $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ para cada elección de estados clásicos $a,b\in\Sigma.$ Como un ejemplo simple, cuando $\mathsf{X}$ y $\mathsf{Y}$ son qubits, encontramos que

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operaciones controlled-unitary

Ahora supongamos que $\mathsf{Q}$ es un qubit y $\mathsf{R}$ es un sistema arbitrario, que tiene cualquier conjunto de estados clásicos que deseemos. Para cada operación unitaria $U$ actuando en el sistema $\mathsf{R},$ una operación controlled-$U$ es una operación unitaria en el par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ definida de la siguiente manera:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Por ejemplo, si $\mathsf{R}$ también es un qubit, y consideramos la operación Pauli $X$ en $\mathrm{R},$ entonces una operación controlled-$X$ está dada por

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ya encontramos esta operación en el contexto de información clásica y operaciones probabilísticas anteriormente en la lección. Reemplazando la operación Pauli $X$ en $\mathsf{R}$ con una operación $Z$ da esta operación:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Si en cambio tomamos $\mathsf{R}$ como dos qubits, y tomamos $U$ como la operación swap entre estos dos qubits, obtenemos esta operación:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Esta operación también se conoce como una operación Fredkin, o más comúnmente, una compuerta Fredkin. Su acción en estados base estándar puede describirse de la siguiente manera:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Finalmente, una operación controlled-controlled-NOT, que podemos denotar como $CCX,$ se llama una operación Toffoli o compuerta Toffoli. Su representación matricial se ve así:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Alternativamente podemos expresarla usando la notación de Dirac de la siguiente manera:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$