La naturaleza de los estados cuánticos: variables ocultas frente a la desigualdad de Bell

Para este módulo de Qiskit en el Aula, los estudiantes deben tener un entorno Python funcional con los siguientes paquetes instalados:

• qiskit v2.1.0 o posterior
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 o posterior
• qiskit-aer v0.17.0 o posterior
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Para configurar e instalar los paquetes anteriores, consulta la guía Instalar Qiskit. Para ejecutar trabajos en ordenadores cuánticos reales, los estudiantes deberán crear una cuenta en IBM Quantum® siguiendo los pasos de la guía Configurar tu cuenta de IBM Cloud.

Este módulo fue probado y utilizó 12 segundos de tiempo de QPU. Esta es solo una estimación. Tu uso real puede variar.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Mira el recorrido del módulo de la Dra. Katie McCormick a continuación, o haz clic aquí para verlo en YouTube.

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Antecedentes

En muchos cálculos a lo largo de la mecánica cuántica, comienzas con un estado conocido de un sistema, y ese estado se conoce típicamente mediante una medición. Hoy queremos responder la pregunta: "¿Qué puedes decir sobre el estado de una partícula antes de cualquier medición?" Un corolario obvio es: "¿Cómo podemos saberlo, si no se nos permite medir?"

Esta pregunta se remonta a los primeros días de la mecánica cuántica. Los pioneros del campo se dividieron en facciones: Einstein y muchos otros decían que una partícula simplemente se encuentra en algún estado desconocido antes de la medición. Otros, especialmente Max Born, y más tarde Niels Bohr, hicieron una afirmación más radical: el estado de una partícula estaba verdaderamente indeterminado por la naturaleza antes de la medición, no simplemente desconocido para los humanos. La medición entonces colapsa probabilísticamente la partícula a un estado definido. Einstein, insatisfecho con esta explicación, dijo irónicamente: "Gott würfelt nicht", que se traduce aproximadamente como "Dios no juega a los dados."

Durante las décadas posteriores a este desacuerdo, muchos pensaron que quizás nunca se resolvería, o que era una cuestión de perspectiva. Entonces, en 1964, John Bell, un físico de Irlanda del Norte, escribió un artículo en el que exploró las estadísticas de ciertos experimentos que podrían responder esta pregunta de manera definitiva. Demostró que en una prueba particular, se obtienen conjuntos de estadísticas distintos dependiendo de si los estados cuánticos están definidos (aunque desconocidos) o si son verdaderamente indeterminados por la naturaleza.

En la época del artículo de Bell, las pruebas experimentales de las estadísticas involucradas eran inaccesibles para todos salvo para los investigadores en la vanguardia de la física. Pero hoy, IBM Quantum ha hecho posible que estudiantes de todo el mundo usen dispositivos cuánticos reales, de forma remota a través de la nube y de manera gratuita, para explorar la naturaleza de los estados cuánticos. Esto es lo que harás hoy.

Configuración del experimento mental: entrelazamiento de espín

Existen procesos en los que una partícula sin espín se desintegra en dos partículas que sí tienen espín. Dado que el espín es un tipo de momento angular, la ley de conservación del momento angular sugiere que las dos partículas resultantes deben tener espines exactamente antialineados. De hecho, esto se observa experimentalmente.

Un ejemplo: un mesón pi neutro a veces se desintegra en un positrón y un electrón: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ No te preocupes si no sabes qué son esas partículas, ni si las conoces tan bien que sabes que este tipo de desintegración es relativamente poco probable. Solo necesitas saber que si una de las partículas resultantes tiene espín hacia arriba, la otra debe tener espín hacia abajo, y viceversa. Por supuesto, no hay nada especial en "arriba" y "abajo"; la misma antialineación se observa si las mediciones se realizan a lo largo de lo que solemos llamar $x$ o $y$. Esta desintegración es un contexto convincente para considerar, porque podemos eludir preguntas sobre qué mediciones tuvieron lugar en el pasado; el positrón y el electrón ni siquiera existían hasta el momento de la desintegración.

Podemos dejar que los mesones $\pi^0$ se desintegren y observar la deflexión de las partículas resultantes bajo la influencia de un campo magnético inhomogéneo. Un campo inhomogéneo usado para deflectar espines se llama a menudo dispositivo de Stern-Gerlach, en honor a los investigadores que lo utilizaron por primera vez para (accidentalmente) reunir evidencia de la existencia del espín mecánico-cuántico. Ten en cuenta que la situación aquí es más complicada que el experimento original, ya que el electrón y el positrón también están cargados (a diferencia de los átomos de plata en el experimento de Stern-Gerlach). Pero sabemos cómo se mueven las partículas cargadas en un campo magnético y podemos restar ese efecto. En lo que sigue, asumiremos que las deflexiones usadas en nuestros cálculos se deben al espín de las partículas y no a la carga. En consecuencia, para nuestros propósitos no importa qué observador recibe el positrón y cuál el electrón. La configuración experimental es algo así:

Cuando el mesón se desintegra, un electrón sale disparado en una dirección y un positrón en la otra. Cada una de estas dos partículas viajará a través de un campo magnético inhomogéneo, lo que hará que se deflecte en la dirección del campo magnético o en la dirección opuesta.

Si tenemos una fuente de muchos mesones, podemos recopilar estadísticas al respecto. Si un observador a la izquierda y uno a la derecha (llamémoslos Lucas y Rihanna, respectivamente) siempre miden a lo largo del mismo eje, estas estadísticas no serán muy interesantes: cada vez que uno mide hacia arriba, el otro mide hacia abajo; cada vez que uno mide hacia adentro de la página, el otro medirá hacia afuera, y así sucesivamente. Sin embargo, si los jugadores tienen libertad para medir el espín a lo largo de cualquier dirección que deseen, podemos encontrar algo más interesante.

El experimento descrito anteriormente, en el que las partículas vuelan con momento angular de espín medido por dos observadores, fue propuesto inicialmente por Einstein, Podolsky y Rosen (EPR) en este artículo, y a veces se lo denomina "experimento EPR".

Nuestras opciones

Replanteemos los dos puntos de vista históricos, para mayor claridad:

Opción 1 (Einstein): Los dos espines (el electrón y el positrón) están determinados, en el sentido de que el resultado de cualquier medición a lo largo de cualquier eje está predeterminado por la naturaleza, aunque no sepamos cuál es. Se podría pensar en esto como si los espines tuvieran alguna orientación real y bien definida en el espacio, que nos es desconocida pero que existe. O bien, se podría pensar en esto como un conjunto de información o instrucciones que determinan los resultados de las mediciones a lo largo de $x$, $y$, $z$ o cualquier dirección intermedia. Medir el espín del positrón (digamos a lo largo de z) lo fuerza a orientarse y alinearse en la dirección z o -z. Esto no tiene influencia causal sobre el espín del electrón, aunque sabemos que el espín del electrón comenzó siendo opuesto al del positrón; así, si el espín del positrón se mide como +z, el espín del electrón se mide como -z. Aparte de la condición inicial de instrucciones que conservan el momento angular (los espines antialineados), no hay conexión entre los dos espines. Esta opción se conoce a veces como "variables ocultas", es decir: las proyecciones a lo largo de distintos ejes están determinadas, pero nos están ocultas.

Opción 2 (Born): Los espines están ambos indeterminados en sus estados iniciales... no simplemente desconocidos, sino físicamente indefinidos, sin orientación definida ni instrucciones sobre los resultados experimentales, hasta que se miden. Medir el espín del positrón "colapsa" el espacio de todas las posibilidades a un único estado determinado, ya sea a lo largo del eje +z o -z. Esta medición del positrón obliga al espín del electrón a también colapsar a una proyección bien definida a lo largo de z, exactamente opuesta a la del positrón. Este efecto se produce repartido en el espacio entre el positrón y el electrón. Esto se ha llamado "acción fantasmal a distancia", aunque se podría describirlo de manera menos dramática como "física no local".

Comprueba tu comprensión

Lee la pregunta a continuación, piensa en tu respuesta y luego haz clic en el triángulo para revelar la solución.

Sería genial distinguir experimentalmente entre las opciones de Einstein y Born. ¿Qué experimentos darían los mismos resultados independientemente de cuál opción sea cierta? ¿Puedes pensar en un experimento que daría resultados diferentes para las dos opciones? Nota Sería muy impresionante que pudieras proponer un experimento que diera resultados distintos para las opciones de Einstein y Born; a los humanos les llevó décadas ocurrírselo.

Respuesta:

Si nos ceñimos al experimento descrito hasta ahora (es decir, sin espín neto, con el positrón y el electrón antialineados), la medición de ambos espines a lo largo de $\pm x$, $\pm y$, o $\pm z$ siempre daría signos opuestos debido a la conservación del momento angular, independientemente de cuál opción sea correcta. Medir el espín de una partícula (digamos, el electrón) a lo largo de una dirección (digamos, $+z$) significa que el espín de la otra partícula, el positrón, se mediría a lo largo de $-z$. Si en cambio mides el espín del positrón a lo largo de la dirección $x$, tendrá la misma probabilidad de resultar $+x$ o $-x$. Esto podría deberse a que eso es lo que dicen las instrucciones ocultas (opción 1 de Einstein) o a que la distribución de probabilidad del espín del positrón se actualiza después de la medición del espín del electrón, y la nueva distribución de probabilidad es consistente con una división 50-50 entre $\pm x$ (opción 2 de Born). Estos puntos se explican con más detalle a continuación.

La respuesta es solo ligeramente diferente si consideras la desintegración de una partícula con espín 1, de modo que las dos partículas resultantes (como el positrón y el electrón) deben tener sus espines alineados, en lugar de antialineados. Si uno se mide a lo largo de $+y$, una medición de la otra partícula a lo largo del eje $y$ también debe dar $+y$, y así sucesivamente. Como antes, esto podría resultar de cualquiera de las dos opciones.

El resto de esta lección está dedicado a un experimento que puede distinguir entre las opciones de Einstein y Born, por lo que no entraremos en muchos detalles aquí. Sin embargo, parte del truco consiste en medir las dos partículas a lo largo de distintas direcciones (como $x$ y $z$, o incluso alguna dirección entre los ejes cartesianos tradicionales). El resto proviene de considerar cuidadosamente la probabilidad precisa de obtener distintos resultados dadas las predicciones de la mecánica cuántica y las de la información clásica como en las variables ocultas.

En cualquiera de las dos opciones, si los dos observadores, Lucas y Rihanna, miden a lo largo del mismo eje, esperaríamos que obtengan espines antialineados, independientemente de cuál opción sea cierta. Para entender por qué, considera los diagramas a continuación.

La figura anterior muestra la opción de Einstein. Las direcciones de los espines son opuestas y están determinadas. Si medimos a lo largo del eje $z$, uno estará a lo largo de $+z$ y el otro a lo largo de $-z$. No tenemos razón para asumir que el positrón estaría a lo largo de $+z$ y el electrón a lo largo de $-z$; la imagen simplemente muestra que los espines se medirán en direcciones opuestas. De hecho, un espín dado no necesita tener realmente una componente de su espín a lo largo de la dirección eventualmente medida, en el caso de la opción de Einstein. La afirmación más débil de la opción de Einstein es que existe algún conjunto de instrucciones almacenadas en el espín que determinan cuáles serán los resultados de las mediciones cuando se midan a lo largo de cualquier eje. No necesitamos imaginar que estas instrucciones tienen la forma de un simple vector (ver diagrama a continuación); volveremos a esto más adelante.

La figura a continuación muestra la opción de Born, en la que las direcciones del espín del positrón y del electrón están difuminadas en una distribución de probabilidad y no tienen una dirección definida. No interpretes demasiado la forma de la distribución. Cada espín podría tener en realidad una probabilidad no nula de apuntar en cualquier dirección, siempre que sean opuestos entre sí; simplemente los hemos dibujado como fracciones del círculo para poder distinguirlos visualmente durante la discusión. Ten en cuenta que en el caso de la opción de Born, sigue siendo cierto que el momento angular debe conservarse. Así, si una onda de probabilidad "colapsa" de modo que el espín apunte a lo largo de $+z$, el otro apuntará a lo largo de $-z$ y se deflectará en la dirección opuesta. Las opciones parecen idénticas.

Pero ¿qué ocurre cuando los observadores L y R pueden medir a lo largo de cualquiera de tres ejes, con cada par separado por 120 grados, como se muestra en las Figuras 4 y 5? Cada observador puede decidir aleatoriamente a lo largo de qué eje medirá el espín (a, b o c). Los dos no necesitan medir a lo largo del mismo eje. Cuando cada observador mide, puede encontrar una proyección positiva sobre su eje elegido, o una proyección negativa. Por ejemplo, Lucas y Rihanna podrían medir +a y -b o +b y +c. Ten en cuenta que si casualmente eligen medir a lo largo del mismo eje, DEBEN obtener signos opuestos en sus proyecciones: +a y -a, +b y -b, o +c y -c; no pueden encontrar ambos, por ejemplo, +a. En la siguiente sección, trabajaremos en cómo calcular la probabilidad de que Lucas y Rihanna obtengan el mismo signo en sus ejes medidos (++ o --) y signos opuestos (+- o -+).

Las dos figuras anteriores ilustran posibles interpretaciones de variables ocultas en este nuevo escenario de medición con tres ejes. Es decir, los espines ya están determinados, como vectores, o existe un conjunto de instrucciones físicas incorporadas de alguna manera en el sistema de modo que los resultados de todas las posibles mediciones están predeterminados, aunque sean incognoscibles para los experimentadores antes de la medición. La alternativa se ilustra a continuación. Existe una distribución de probabilidad de resultados que puede decirnos algo sobre la probabilidad de distintos resultados de medición, pero los resultados son indeterminados por la naturaleza antes de la medición.

Podemos preguntarnos: "¿Con qué frecuencia deberían los dos jugadores encontrar el mismo signo de la proyección del espín?" Es decir, ni siquiera registramos a lo largo de qué eje eligieron medir; simplemente registramos si encontraron el mismo signo o un signo diferente. No es obvio si las opciones de Einstein y Born darán el mismo resultado en este esquema de medición más complicado. Pero debería quedar claro a partir de las Figuras 4 y 5 que $es\ posible$ que haya una diferencia. Para el caso mostrado en la opción de Einstein, una medición de la proyección del espín de $e+$ sobre el eje $a$ definitivamente dará $+a$, y la proyección del espín de $e-$ sobre el eje $b$ dará $-b$ (por poco). Pero en la opción de Born, las posibilidades están completamente abiertas. Es cierto que el momento angular sigue conservándose. Pero dado que los dos campos magnéticos no están orientados a lo largo del mismo eje, forzamos a las partículas a una situación en la que deben colapsar sobre ejes diferentes (a través de interacciones con el campo). En la siguiente sección, usaremos la mecánica cuántica para determinar cuáles deberían ser las probabilidades, dada la opción de Born, de que Lucas y Rihanna obtengan el mismo signo en sus ejes medidos (++ o --), y las probabilidades de que obtengan signos opuestos (+- o -+).

Predicciones

¿Qué predice la opción de Einstein (variables ocultas)?

Si la opción de Einstein es cierta, entonces cualquier par dado de $e+$ y $e-$ tendrá un conjunto de componentes vectoriales para sus espines. Por ejemplo, el electrón podría tener componentes $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$, en cuyo caso el positrón debe tener componentes $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Aquí solo especificamos el signo de la proyección sobre cada eje, no la magnitud. Imaginemos que dejamos que un número muy grande $N$ de tales desintegraciones ocurra, y recopilamos mediciones para poblar la tabla a continuación.

Población	Partícula 1	Partícula 2
$N_1$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_2$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_3$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_4$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$
$N_5$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_6$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_7$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_8$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$

Para cada caso en la tabla anterior, hay 9 posibles elecciones para los ejes de Lucas y Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$ y $cc$. Leyendo esta tabla, la probabilidad de que los dos observadores midan el mismo signo para las filas 1 y 8 es cero. Para las filas 2-7, hay 4 formas de obtener el mismo signo, lo que mostraremos solo para la fila 2:

Mismo signo: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Signo opuesto: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Así, si la opción de Einstein es la interpretación correcta de los estados cuánticos, la probabilidad total sumada sobre todas las poblaciones posibles de que Lucas y Rihanna obtengan el mismo signo de proyección de espín en sus ejes elegidos aleatoriamente sería: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Donde la igualdad se cumple solo si $N_1=N_8=0$.

Comprueba tu comprensión

Lee las preguntas a continuación, piensa en tus respuestas y luego haz clic en los triángulos para revelar las soluciones.

Para la fila 2 de la tabla anterior, enumeramos todas las formas posibles en que Lucas y Rihanna pueden obtener el mismo signo para sus mediciones, y todas las formas en que podrían obtener signos diferentes. Repite esto para la tercera fila.

Respuesta:

Mismo signo: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

Signo opuesto: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

La tabla anterior hace referencia a "poblaciones", lo que significa que no sabemos cuántos de cada tipo de instrucciones produce la naturaleza, si el tratamiento de variables ocultas es correcto. Demuestra que sin importar cuál sea la distribución de $N_1$ a $N_8$, la probabilidad de obtener el mismo signo en las mediciones siempre es menor o igual a 4/9.

Respuesta:

Comencemos asumiendo un número constante de ensayos de medición totales, de modo que $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ es constante. Observa que en el caso especial donde $N_1=N_8=0$, la expresión se reduce a

$$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

Ahora supón que $N_1 \neq 0$ o $N_8 \neq 0$. Entonces

$$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

La suma de todos los ensayos, $N_tot$, sigue siendo la misma que antes. Pero dado que $N'_1$ o $N'_8$ ha aumentado desde 0, la suma de $N'_2$ a $N'_7$ debe ser menor que antes. En particular, la suma de $N'_2$ a $N'_7$ es menor que $N_{tot}$. Por lo tanto

$$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

Combinando todos los casos posibles, tenemos $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Generalización

En el tratamiento anterior, consideramos mediciones a lo largo de ejes específicos. Por supuesto, se pueden hacer mediciones a lo largo de cualquier eje. Llamemos a los dos vectores de espín de dos partículas $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Sea $\lambda$ alguna variable oculta tal que un estado del sistema de dos partículas corresponde a un valor bien definido de $\lambda$. Sea $\rho(\lambda)$ la densidad de probabilidad en $\lambda$. Finalmente, elegimos los símbolos $A(\vec{a},\lambda)$ y $B(\vec{b},\lambda)$ para ser el resultado predeterminado de una medición realizada en cualquiera de las partículas (A o B), dados los vectores de espín y la variable oculta. Crucialmente, observa que $A$ es independiente de $\vec{b}$ y $B$ es independiente de $\vec{a}$. Ahora se podría plantear cualquier número de preguntas relacionadas con las correlaciones entre las mediciones de A y B. En particular, se podría preguntar sobre el valor esperado dado por

$$E(\vec{a},\vec{b})\equiv\int{d\lambda \rho(\lambda)A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)}$$

Dadas algunas suposiciones estándar sobre estos valores, como $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$, y la normalización sobre $\rho(\lambda)$, se puede demostrar que las correlaciones entre las dos partículas obedecen la relación

$$|E(\vec{a},\vec{b})-E(\vec{a},\vec{d})|+|E(\vec{c},\vec{d})+E(\vec{c},\vec{b})|\leq 2,$$

donde $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son los estados de espín de tu sistema y $\vec{c}$ y $\vec{d}$ son estados de espín de referencia (cualesquiera otros estados de espín posibles del sistema). Esta es una de toda una clase de desigualdades conocidas ahora como "desigualdades de Bell". No usaremos esta forma general aquí. En cambio, nos centraremos en una configuración experimental específica para poder mapear esa configuración en un circuito cuántico.

¿Qué predice la opción de Born (mecánica cuántica no determinista)?

Lucas elegirá algún eje y encontrará que el espín de una partícula está en la dirección positiva o negativa. Sea cual sea el resultado, orientemos nuestros ejes de modo que el eje $z$ sea esa dirección. Entonces podemos escribir el estado inicial tras la desintegración del mesón y antes de cualquier medición como

$$|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R)$$

Rihanna medirá el espín de su partícula a lo largo de alguna otra dirección en un ángulo $\theta$ relativo al de Lucas. El operador de espín a lo largo de alguna dirección arbitraria $\hat{n}$ está dado por

$$\hat{S}_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

Los autoestados de este operador son

$$|+\rangle_{\hat{n}}=\cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle \\ |-\rangle_{\hat{n}}=\sin(\theta/2)|0\rangle-\cos(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle$$

Comprueba tu comprensión

Lee las preguntas a continuación, piensa en tus respuestas y luego haz clic en los triángulos para revelar las soluciones.

Verifica que $|+\rangle_{\hat{n}}$ es un autoestado del operador $\hat{S}_{\hat{n}}$ anterior, y encuentra el autovalor.

Respuesta:

$$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Usando $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ y $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, tenemos

$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Esto demuestra que $|+\rangle_{\hat{n}}$ es un autoestado y el autovalor correspondiente es $\frac{\hbar}{2}$.

La probabilidad de que Lucas mida un espín en la dirección positiva a lo largo del eje que eligió $|+\rangle$ $y$ que Rihanna también mida un espín positivo a lo largo de su dirección elegida $|+\rangle_{\hat{n}}$ es

$$P_{++}=\left|\left(_L\langle+|_{R,\hat{n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$ $$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(|+\rangle_L|-\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\vphantom{p}_R\langle-|\right) |-\rangle_R \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Comprueba tu comprensión

Lee las preguntas a continuación, piensa en tus respuestas y luego haz clic en los triángulos para revelar las soluciones.

Haz lo mismo para $P_{--}$. Verifica que también es igual a $\frac{1}{2}\sin^2(\theta).$

Respuesta:

$$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Sumando estos resultados, encontramos que la probabilidad de que los signos de los dos ejes medidos sean iguales es $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Comprueba tu comprensión

Lee la pregunta a continuación, piensa en tu respuesta y luego haz clic en el triángulo para revelar la solución.

¿Qué podrías hacer para verificar la matemática de este resultado? Para ser claros, no te pedimos que verifiques todavía que coincide con la naturaleza, sino solo que te asegures de que no ocurrió ningún error en todos los cálculos.

Respuesta:

(1) Haz el mismo cálculo para $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ para verificar la conservación de la probabilidad.

(2) Comprueba un caso conocido. Sustituye $\theta = 0$. Entonces $P_{\text{same}}$ corresponde a los dos observadores midiendo cada uno su espín a lo largo del mismo eje, lo que violaría la conservación del momento angular. Así que esperarías que esa probabilidad sea cero, y de hecho al sustituir $\theta = 0$ se obtiene $\sin^2(0/2) = 0$.

(3) Comprueba un caso conocido diferente. Prueba con $\theta = \pi$. ¿Qué deberías obtener? Cuidado con ese $\frac{1}{2}$.

Estábamos esbozando específicamente el caso donde los ejes están a $120\deg$ entre sí. Recuerda, cualquiera que sea la dirección ($\pm a$, $\pm b$, o $\pm c$) que obtenga Lucas, la llamamos $z$. Entonces Rihanna elige aleatoriamente medir a lo largo de $\pm a$, $\pm b$, o $\pm c$. Si su elección es la misma que la de Lucas (salvo por el signo), entonces ambos están midiendo a lo largo de $z$, y la probabilidad de que Rihanna también mida $+z$ es cero. Esto debería ocurrir 1/3 del tiempo, ya que la elección de eje de Rihanna es independiente de la de Lucas. Para cualquier otra elección, Rihanna medirá a lo largo de un eje ya sea $120\deg = 2\pi/3$ radianes de $z$ (1/3 del tiempo) o $240\deg = 4\pi/3$ radianes de $z$ (1/3 del tiempo). Y por supuesto, a lo largo de cualquiera de esos ejes, el espín podría medirse en la dirección positiva o negativa. Esto nos da una probabilidad total de que Lucas y Rihanna obtengan el mismo signo:

$$P_{\text{same}} = \frac{1}{3}\left( 0 + \sin^2(\pi/3) + \sin^2(2\pi/3) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

¡Vaya!

Acabamos de demostrar que

$$(P_\text{same})_\text{max, Einstein}<(P_\text{same})_\text{max, Born}.$$

Detengámonos un momento.

Las opciones de Einstein y Born parecían que siempre darían los mismos resultados, ya que solo diferían en su descripción de lo que ocurre antes de la medición. Y sin embargo, asumiendo que existen instrucciones que predeterminan el signo de la medición del espín a lo largo de ciertos ejes, obtuvimos una restricción sobre la probabilidad de que las mediciones den el mismo signo $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Luego asumimos distribuciones de probabilidad como en la mecánica cuántica... y obtuvimos un valor diferente para $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. La predicción de la mecánica cuántica es mayor que la permitida por el tratamiento de variables ocultas. Así que podemos realizar realmente un experimento y descubrir si los estados cuánticos están determinados por la naturaleza antes de la medición, o si están verdaderamente en una superposición probabilística de posibles estados.

Este experimento se ha realizado muchas veces usando muchos sistemas físicos diferentes, a menudo fotones. Hay muchas consideraciones sutiles, como sesgos en la medición, la sincronización (simultaneidad) de las mediciones, y muchas otras. A lo largo de las décadas, las preocupaciones sobre estas sutilezas han ido desapareciendo progresivamente. Todavía se implementan pruebas a medida que aprendemos más sobre la realidad, pero ahora existe un amplio consenso de que la respuesta que obtendrás aquí, usando ordenadores cuánticos de IBM®, es la correcta.

¡Prueba con computadoras cuánticas reales!

De acuerdo con el tratamiento anterior, definamos la dirección de la medición de Lucas como $+z$. Esto era conveniente incluso en el enfoque algebraico, pero es especialmente conveniente para la computación cuántica, ya que lo que se mide típicamente es la proyección del qubit a lo largo de $z$. Queremos construir un circuito cuántico que nos dé las mismas condiciones de probabilidad que las anteriores para $P_{++}$. Somos libres de orientar nuestro plano de modo que $\phi=0$, y obtenemos

$$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$

Necesitamos saber algunas cosas sobre las computadoras cuánticas de IBM para orientar nuestra discusión. En primer lugar, los qubits comienzan inicializados en el estado $|0\rangle = |+\rangle_z$. Como se menciónó antes, cuando se realizan mediciones, son a lo largo del eje $z$. Así que el objetivo es determinar qué operadores podemos insertar entre los estados de la base de medición $\langle 0|\langle 0|$ y los estados iniciales de los qubits $|0\rangle |0\rangle$ para obtener la expresión complicada de arriba. Para ello, necesitaremos revisar algunas compuertas básicas de computación cuántica.

Compuerta $X$: Equivalente a una operación NOT. Compuerta de un solo qubit.

$$X|0\rangle = |1\rangle,\\X|1\rangle=|0\rangle$$ $$X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

En Qiskit, crear un circuito con una compuerta $X$ se ve así:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Compuerta Hadamard $H$: Crea un estado de superposición. Compuerta de un solo qubit.

$$H|0\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right),$$ $$H|1\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle-|1\rangle\right)$$ $$H=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Un circuito con una compuerta Hadamard se construye de la siguiente manera:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Compuerta CNOT (NOT controlado): Esta compuerta usa dos qubits: un control y un objetivo. Verifica el estado del qubit de control, que no cambia. Pero si el qubit de control está en el estado $|1\rangle$, la compuerta cambia el estado del qubit objetivo; si el estado del qubit de control es $|0\rangle$, no se realiza ningún cambio. En la notación de abajo, supongamos que el primer qubit es el control y el segundo es el objetivo.

$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \\ CNOT|01\rangle = |01\rangle \\ CNOT|10\rangle = |11\rangle \\ CNOT|11\rangle = |10\rangle$$

Una compuerta CNOT se ve un poco diferente en un circuito, ya que requiere dos qubits. Así es como se implementa:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Ten en cuenta que el primer qubit listado en qc.cx(0,1) es el control y el segundo es el objetivo. Diagramáticamente, el objetivo es el que tiene el signo "+" o la cruz.

Compuerta de rotación Y $R_y(\theta)$: Rota el estado alrededor del eje y. Es una compuerta de un solo qubit.

$$R_y(\theta)|0\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)|1\rangle,\\R_y(\theta)|0\rangle = -\sin(\theta/2)|0\rangle+\cos(\theta/2)|1\rangle$$ $$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$$

Por último, las compuertas de rotación se implementan especificando el tipo de compuerta, la cantidad de rotación y el qubit sobre el que se coloca la compuerta, en ese orden:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

El nombre de la compuerta ry especifica el eje alrededor del cual ocurre la rotación. El primer argumento $\pi/2$ indica la cantidad de rotación, y el segundo argumento especifica el qubit sobre el que se coloca la compuerta.

Comprueba tu comprensión

Lee las preguntas de abajo, piensa en tu respuesta y luego haz clic en el triángulo para revelar la solución.

Usando la sintaxis introducida o repasada arriba, construye cualquier circuito cuántico que involucre cuatro tipos diferentes de compuertas cuánticas.

Respuesta:

Por supuesto, hay infinitas posibilidades. Aquí hay un ejemplo:

qc=QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi/2,0)
qc.cx(1,0)
qc.x(1)
qc.h(0)
qc.cx(0,1)
qc.draw("mpl")

Del experimento físico a los circuitos cuánticos

A partir de las operaciones de estas compuertas, podemos ver, por ejemplo, que los kets en las expresiones para $P_{++}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$$

probablemente involucran una compuerta Hadamard para obtener la superposición, y una compuerta CNOT para crear el entrelazamiento.

Usaremos ahora las compuertas H, X y CNOT para transformar $|0\rangle_L|0\rangle_R$ en $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|0\rangle_R\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}CNOT_{LR}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|1\rangle_R\right)$$

Aquí $CNOT_{LR}$ significa una compuerta CNOT usando L como control y R como objetivo. Ahora podemos factorizar la parte R del estado:

$$\text{CNOT}_{LR}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L-|1\rangle_L\right)|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L|1\rangle_L|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R$$

Ahora hemos escrito el ket íntegramente como compuertas cuánticas operando sobre el estado inicial predeterminado de los qubits.

Ahora podemos usar $R_y(\theta)$ actuando sobre $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ para obtener el bra en la expresión para $P_{++}$.

$$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(\cos(\theta/2)\langle0|+\sin(\theta/2)\langle1|\right)$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(|0\rangle \cos(\theta/2)+|1\rangle \sin(\theta/2)\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|\left(R_{y,R}(\theta)|0\rangle_R\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)$$

Combinando estos resultados, podemos escribir la probabilidad $P_{++}$ como

$$p_{++}=\left|\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R\right|^2$$

Esto nos da instrucciones explícitas sobre cómo construir nuestro circuito cuántico. Aplicaremos compuertas X, H, CNOT y $R_y$ a qubits que representan los estados cuánticos de las partículas medidas por Lucas y Rihanna, y haremos mediciones para obtener la probabilidad.

IBM Quantum recomienda abordar los problemas de computación cuántica usando un marco que llamamos patrones de Qiskit. Consta de los siguientes pasos.

• Paso 1: Mapea tu problema a un circuito cuántico
• Paso 2: Optimiza tu circuito para ejecutarlo en hardware cuántico real
• Paso 3: Ejecuta tu trabajo en computadoras cuánticas de IBM usando Runtime Primitives
• Paso 4: Post-procesa los resultados

Básicamente todo el trabajo que hicimos arriba fue el paso 1. ¡Construyamos el circuito resultante usando Qiskit!

Paso 1: Mapeando nuestros resultados a un circuito cuántico

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Recuerda que 1/3 del tiempo el eje elegido por Rihanna estará a $2\pi/3$ radianes del de Lucas, 1/3 del tiempo estará a $4 \pi/3$ radianes del de Lucas, y 1/3 del tiempo elegirán el mismo eje. Así que en realidad necesitamos hacer 3 circuitos cuánticos para estos 3 casos, y sumar los resultados. Explicaremos cuidadosamente el primero, y los dos últimos simplemente los enunciaremos.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's) as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

El código de abajo construye rápidamente los tres circuitos de forma más simplificada. Ten en cuenta que la única diferencia entre los tres circuitos es cuánto rotamos los dos qubits alrededor del eje $y$.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Ahora usaremos una primitiva de Qiskit llamada StatevectorSampler. Un sampler es una primitiva diseñada para muestrear todos los estados posibles de un sistema y devolver probabilidades (o en algunos casos, cuasiprobabilidades) de obtener cada estado. Podemos especificar un número de "shots" y observar los "counts" para cada estado.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Si observamos los counts de cada circuito, vemos que dos de ellos fueron básicamente idénticos, y el tercero fue bastante diferente.

plot_histogram(counts_list)

Hagamos una lista de los posibles resultados y sumemos todos los counts de cada estado de cada uno de los tres circuitos para obtener las probabilidades totales.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Ahora podemos imprimir los counts totales para cada resultado y graficar el histograma.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Comprueba tu comprensión

Lee las preguntas de abajo, piensa en tu respuesta y luego haz clic en el triángulo para revelar la solución.

¿Es la imagen anterior consistente con los resultados predichos por las variables ocultas y el determinismo? ¿O es consistente con la mecánica cuántica probabilística (y no local)?

Respuesta:

Es consistente con la mecánica cuántica probabilística y no local. El tratamiento de variables ocultas predijo que la probabilidad de obtener el mismo signo era menor o igual a 4/9. La mecánica cuántica predijo una probabilidad del 50%. El histograma anterior describe una probabilidad de 00 u 11 igual al 49,97%. Esto está muy cerca de la predicción de la mecánica cuántica probabilística, pero lo más importante es que es mayor que el rango permitido en el tratamiento de variables ocultas.

¿Esto prueba algo sobre la naturaleza?

Respuesta:

¡No! ¡Estábamos usando un simulador! Es decir, una computadora programada para comportarse de acuerdo con las leyes de la mecánica cuántica probabilística. Si proponemos una regla y luego programamos una computadora para seguirla, su capacidad de seguir esa regla no es prueba de que la regla sea correcta. ¡La única manera de probar esto es usar una computadora cuántica real!

Paso 2: Optimiza tu circuito cuántico para ejecutarlo en hardware real

Aunque inicialmente usamos un simulador para depurar nuestro código, realmente queremos ejecutar en hardware real. Al fin y al cabo, un simulador solo está fingiendo ser cuántico mecánico, basándose en las ecuaciones anteriores. Si el simulador nos dijera que esas ecuaciones son correctas, eso no haría mucho para convencernos. ¡Queremos que una computadora cuántica real nos diga qué está pasando! Así que seleccionaremos la computadora cuántica que queremos usar. A veces puede ser importante elegir un dispositivo específico que tenga las propiedades que deseas, pero a menudo simplemente queremos usar el dispositivo que esté menos ocupado.

Hay código abajo para guardar tus credenciales la primera vez que lo uses. Asegúrate de eliminar esta información del notebook después de guardarla en tu entorno, para que tus credenciales no se compartan accidentalmente cuando compartas el notebook. Consulta Configura tu cuenta de IBM Cloud e Inicializa el servicio en un entorno no confiable para más orientación.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform', instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Paso 3: Ejecuta tu trabajo en computadoras cuánticas de IBM usando Runtime primitives

Ahora que hemos optimizado nuestros circuitos para ejecutarlos en hardware cuántico real, y depurado nuestro código usando simuladores, estamos listos para recopilar estadísticas de una computadora cuántica real y resolver el desacuerdo entre Einstein y Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

[None, None, None]

Paso 4: Post-procesamiento y análisis

Demos un paso atrás y recapitulemos: usando un tratamiento de variables ocultas y los 3 ejes desplazados, obtuvimos una restricción sobre la probabilidad de que las mediciones arrojen el mismo signo $P_{same,hv} =4/9$. Luego asumimos distribuciones de probabilidad según la mecánica cuántica y obtuvimos un valor diferente para esa probabilidad: $P_{same,gm} = 1/2$. La predicción de la mecánica cuántica es mayor que la permitida por el tratamiento de variables ocultas. Por lo tanto, se puede saber experimentalmente si los estados cuánticos están determinados por la naturaleza antes de la medición, o si están verdaderamente en una superposición probabilística de estados posibles.

Diseñamos nuestros circuitos cuánticos de modo que hay cuatro resultados posibles correspondientes a Lucas y Rihanna midiendo uno u otro signo de la proyección del espín: 00, 01, 10 y 11. En los casos de 00 y 11, Lucas y Rihanna miden el mismo signo; en los casos de 01 y 10, miden signos opuestos. Vemos que, con muy buena aproximación, la probabilidad de que Lucas y Rihanna obtengan el mismo signo es de aproximadamente el 50%, definitivamente mayor que $4/9$. Esto significa que no existe ningún conjunto de variables ocultas que pueda dar cuenta de esa distribución de probabilidades, y el tratamiento de variables ocultas no es compatible con el experimento.

Existen diferentes interpretaciones de los resultados experimentales de la mecánica cuántica, y hay muchas sutilezas en la configuración experimental que se revisan de vez en cuando. Pero hasta ahora los principios de la mecánica cuántica y la interpretación probabilística de los estados cuánticos han descrito con precisión los resultados. Parece que Max Born tenía razón.

Tomemos un momento más para reflexionar sobre el significado de esto. Dos partículas emergen de un evento de desintegración y viajan en diferentes direcciones, posiblemente durante mucho tiempo. Sus espines no están en ningún estado bien definido, y no llevan instrucciones de variables ocultas para determinar los resultados de futuras mediciones. Pero una medición de una (a lo largo de, digamos, $+z$) determina necesariamente el resultado de un experimento sobre el espín de la otra partícula a lo largo de la dirección $z$ (debe ser $-z$). Esto significa que algo sobre la física de una partícula está determinado por lo que se hace a la otra partícula, posiblemente muy lejos. Esta es una de las situaciones que ha llevado a la gente a referirse a la realidad como "no local".

Dos partículas como las que hemos estado describiendo están de alguna manera "conectadas" en el sentido de que las mediciones sobre una pueden influir en la otra. Nos referimos a tales partículas como "entrelazadas". El entrelazamiento es más que simples correlaciones. Por ejemplo, podríamos construir una máquina clásica que lanza un imán hacia un lado con su polo norte hacia arriba y un imán hacia el otro lado con su polo norte hacia abajo. Tales imanes podrían estar perfectamente anticorrelacionados. Pero una medición de uno no haría nada al otro. En el entrelazamiento cuántico mecánico, la partícula A podría estar en un estado indefinido (o una mezcla de muchos estados), y podemos fijarla en un estado definido mediante mediciones sobre una partícula totalmente diferente (digamos, B). Nada como eso existe en el mundo clásico.

Esto a menudo abre un mundo completamente nuevo de preguntas y posibilidades. Algunas de las ideas que evoca son reales, ¡como usar el entrelazamiento para computar, como en las computadoras cuánticas! Algunas son engañosamente atractivas pero resultan fallar, como intentar usar el entrelazamiento para enviar información más rápido que la luz. Te animamos a que hagas todas las preguntas que se te ocurran y leas sobre cómo otros han investigado estos fenómenos. Hay todo un mundo de mecánica cuántica por explorar; aquí hay solo algunos recursos que podrías consultar:

Cursos de IBM Quantum:

• Quantum computing in practice
• Basics of quantum information

Artículos interesantes de mecánica cuántica:

• La paradoja Einstein-Podolsky-Rosen
• El artículo original de John Bell de 1964
• Artículo de 2019 sobre capturar y revertir un "salto cuántico" en medio de la transición

Algunos recursos didácticos de mecánica cuántica:

• Materiales del curso Quantum I de la Universidad de Colorado.

Algunos recursos de investigación educativa en mecánica cuántica:

• Revisión de las dificultades de los estudiantes en mecánica cuántica de nivel superior de C. Singh y E. Marshman

Preguntas

Los instructores pueden solicitar versiones de estos notebooks con claves de respuestas y orientación sobre su ubicación en planes de estudio comunes completando esta breve encuesta sobre cómo se están usando los notebooks.

Conceptos clave:

• Hubo un desacuerdo histórico sobre si los estados cuánticos eran meramente desconocidos o indeterminados por la naturaleza antes de la medición, es decir, si la mecánica cuántica es determinista o probabilística.
• Las variables ocultas y, por tanto, el realismo local no son consistentes con las observaciones de la mecánica cuántica. Es decir, las correlaciones observadas en la mecánica cuántica no pueden explicarse por variables bien definidas que simplemente nos son desconocidas.
• La mecánica cuántica es probabilística.
• El entrelazamiento es real y observable.
• El entrelazamiento no es simplemente correlaciones.
• Podemos mapear escenarios del mundo real a computadoras cuánticas.
• Las variables ocultas se refieren a cantidades especificadas por la naturaleza pero desconocidas para los humanos; no existen en este contexto.

Preguntas de V/F:

1. V/F Albert Einstein argumentó que la mecánica cuántica era incompleta como teoría porque solo describía probabilidades de resultados, y no el mecanismo subyacente que determinaba esos resultados.
2. V/F "Variables ocultas" se refiere a la idea de que dos partículas cuánticas mecánicas pueden estar entrelazadas.
3. V/F Cualquier par de sistemas correlacionados están cuánticamente entrelazados.
4. V/F El entrelazamiento cuántico mecánico es importante para que las matemáticas sean correctas, pero no se puede ver en un experimento.
5. V/F En la mayoría de los casos, la mecánica cuántica no puede darte un resultado exacto de un experimento, solo las probabilidades de que ciertos resultados sean medidos.
6. V/F En la mecánica cuántica, bajo ciertas condiciones, el estado de la partícula A puede verse afectado por el estado de la partícula B, incluso si las partículas A y B no están en contacto y no intercambian ninguna partícula.
7. V/F Podemos mapear experimentos del mundo real sobre circuitos cuánticos.

Preguntas de opción múltiple:

1. Supón que una partícula de espín 0 se desintegra en dos partículas de espín 1/2, A y B. Se realiza una medición sobre la partícula A que revela que su espín tiene una proyección a lo largo de $+z$. La partícula B ahora

   • a. definitivamente tiene una proyección de espín a lo largo de $-z$
   • b. definitivamente tiene una proyección de espín a lo largo de $-x$
   • c. definitivamente tiene una proyección de espín a lo largo de $-y$
   • d. definitivamente tiene una proyección de espín negativa a lo largo de cualquier eje medido.

2. Una partícula de espín 0 se desintegra en dos partículas de espín 1/2, A y B. Si se mide que la partícula A tiene una proyección a lo largo de $+z$, ¿cuáles de las siguientes proyecciones son posibles para una medición de la partícula B? Encierra en un círculo todas las que correspondan.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Supón que una partícula de espín 0 se desintegra en dos partículas de espín 1/2, A y B. ¿Qué describe mejor el estado de la partícula A antes de cualquier medición?

   • a. El espín de la partícula A está a lo largo de $+z$.
   • b. El espín de la partícula A está a lo largo de $-z$.
   • c. El espín de la partícula A está a lo largo de $+x$.
   • d. El espín de la partícula A está definido a lo largo de algunas direcciones, pero no de otras.
   • e. La orientación del espín de la partícula A está indeterminada por la naturaleza antes de cualquier medición.

4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas sobre la compuerta Hadamard? Selecciona todas las que correspondan.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas sobre la compuerta X? Selecciona todas las que correspondan.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. ¿Cuál de las siguientes es una compuerta de dos qubits?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Supón que un qubit está en el estado $|0\rangle$. ¿Cuál es la probabilidad de medirlo en el estado $|1\rangle$?

   • a. Exactamente el 100% en un simulador sin ruido, cerca del 100% en una computadora cuántica real
   • b. Cerca del 100% en un simulador sin ruido, exactamente el 100% en una computadora cuántica real
   • c. Exactamente el 0% en un simulador sin ruido, cerca del 0% en una computadora cuántica real
   • d. Cerca del 0% en un simulador sin ruido, exactamente el 0% en una computadora cuántica real

Preguntas de discusión:

1. Los amigos A, B y C están discutiendo los resultados de este laboratorio, relacionados con la desigualdad de Bell. Específicamente, están mirando la imagen que muestra que la probabilidad cuántica mecánica de medir el mismo signo a lo largo de los ejes es mayor que la permitida por un tratamiento de variables ocultas: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. El amigo A dice: "Esto significa que no conocíamos los estados de espín antes de una medición." El amigo B dice: "No, es más que eso. Esto significa que los espines no apuntan ya en una dirección particular, antes de la medición. Aunque, el estado de espín podría estar determinado o almacenado de alguna manera." El amigo C dice: "No, es incluso más que eso. Esto significa que el estado futuro del espín ni siquiera fue decidido por la naturaleza antes de la medición." ¿Con quién estás de acuerdo, y por qué?

2. Explica cómo fenómenos de la mecánica cuántica como el entrelazamiento indican que la realidad es no local.

3. ¿Qué experimentos adicionales querrías hacer para convencerte de los resultados obtenidos aquí?