Formalismo matemático

Dada la tarea de aprender el ruido de Pauli de un conjunto de puertas Clifford, una técnica de análisis común consiste en seguir cómo se transforman los operadores de Pauli individuales a través de una secuencia de aplicaciones de puertas (bajo el supuesto de que las puertas son Clifford y el ruido es un canal de Pauli, un único Pauli siempre se transformará en otro Pauli salvo por un escalar que es función del ruido). Obviamente, la evolución de cualquier estado bajo tal secuencia puede capturarse mediante una combinación lineal de dichas trayectorias, pero bajo el supuesto de que siempre preparamos el estado en un autoestado de Pauli, y siempre medimos y posprocesamos los resultados para calcular el valor esperado de un operador de Pauli, la relación entre el valor esperado y los parámetros del modelo de ruido siempre dependerá de una única trayectoria de este tipo. Esto se deriva del simple hecho de que el estado inicial es una combinación lineal de operadores de Pauli, cada puerta y modelo de ruido transforma Paulis en Paulis y preserva su ortogonalidad, y el valor esperado final “selecciona” solo uno de los Paulis de la descomposición final antes de la medición.

Este tipo de razonamiento aparece en muchas líneas de investigación paralelas sobre aprendizaje de ruido, incluida la literatura de aprendizaje de conjuntos de puertas de Pauli [1, 2], la literatura de ACES [3] y la literatura de cycle benchmarking [4]. Este razonamiento se generalizó aún más en [5] para incluir puertas Clifford-MCM (una puerta Clifford seguida de una medición proyectiva a mitad de circuito). Este paquete sigue de cerca [1, 5]. Aunque no se nombra explícitamente, adoptamos el formalismo del Pattern Transfer Graph (PTG) para describir cómo evolucionan los operadores de Pauli a través de los circuitos de aprendizaje, lo que proporciona una representación de datos directa de los caminos a través del grafo.

A continuación se presenta un repaso de algunos conceptos matemáticos centrales de la literatura. Su objetivo principal es consolidar la notación y servir como referencia conceptual de documentación para el resto del paquete.

1. Antecedentes

1.1 Notación

Para $K \in \mathbb{N}$, sea $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Para un conjunto finito $S \subset \mathbb{N}$ de índices de qubits, sea $\mathcal{P}^S$ el conjunto de operadores de Pauli sin fase que actúan sobre esos qubits. Ten en cuenta que pensamos en los elementos de $\mathcal{P}^S$ como funciones que asignan $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, de modo que para cualquier $P \in \mathcal{P}^S$ y $T \subseteq S$, $P|_T$ denota la restricción de $P$ al subconjunto de qubits $T$. En esta línea, para conjuntos disjuntos $S, T$, y $P \in \mathcal{P}^S$ y $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ denota el elemento de $\mathcal{P}^{S \cup T}$ tal que $P \otimes Q |_S = P$ y $P \otimes Q |_T = Q$. Esta notación ayuda a evitar tratar explícitamente los órdenes de los subsistemas y facilita describir restricciones.

Para subconjuntos finitos $M \subset \mathbb{N}$, denotamos $\mathbb{Z}_2^M$ como el conjunto de cadenas de bits cuyos elementos están indexados por $M$. De manera similar a lo anterior, pensamos en los elementos como funciones que asignan $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, de modo que podamos describir fácilmente subcadenas en términos de restricciones del conjunto de índices.

Por último, para una matriz $X$, usamos $| X \rangle\!\rangle$ para denotar su vectorización. Dada la forma limitada en que usamos esta notación, en realidad no es necesario elegir una convención de vectorización específica. Para una cadena de bits clásica $m$, usamos la abreviatura $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instrumentos cuánticos

Una operación cuántica que produce bits clásicos $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (por ejemplo, el resultado de una medición) se modela generalmente como una aplicación lineal de la forma:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

donde el conjunto $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ es completamente positivo, y $\sum_m \mathcal{E}_m$ preserva la traza. Un conjunto de aplicaciones completamente positivas $\{\mathcal{E}_m\}$ que satisface estas propiedades se denomina instrumento cuántico. Una puerta unitaria es un caso especial de instrumento con un solo elemento que es una operación unitaria.

2. Puertas Clifford-MCM-reset con ruido

El formalismo utilizado en este paquete supone que cada puerta del conjunto de puertas a caracterizar consiste en la siguiente secuencia de operaciones sobre $K$ qubits:

1. Una operación Clifford sobre todos los qubits.

2. Una medición proyectiva a mitad de circuito a lo largo de $Z$ sobre algún subconjunto de qubits $M \subseteq [K]$.

3. Un reinicio a mitad de circuito al estado fundamental de $Z$ sobre algún subconjunto de qubits $R \subseteq [K]$.

Esta es una clase general de operaciones que incluye puertas Clifford unitarias, mediciones, preparación de estados y cualquier combinación de las anteriores. Ten en cuenta que suponemos que la medición y el reinicio siempre se realizan a lo largo del eje $Z$ para cada qubit. Aunque esto no es estrictamente necesario, es una característica común de muchas modalidades de computación cuántica y permite representaciones y análisis más simples.

Como se describe en [5, 6] para el caso sin reinicio, si se aplica una estrategia de twirling específica a una instancia ruidosa de una puerta de este tipo, entonces la acción de la operación resultante puede modelarse matemáticamente como un instrumento de Pauli uniforme. Es decir, dentro de la notación de instrumentos cuánticos, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, donde $G$ es la unitaria Clifford, y:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

donde cada $\Lambda_{a,b}$ es un canal de Pauli subnormalizado sobre los qubits no medidos $N = [K] \setminus M$. Al tratarse de un instrumento cuántico, se sobreentiende que $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ también preserva la traza. Algunas notas:

• Se modela que el ruido inicial sin twirling incluye errores tanto “cuánticos” como “clásicos”: operaciones erróneas sobre los registros cuánticos, así como errores en el reporte del valor de la medición.

• El mapa de ruido $\Lambda_{a,b}$ es independiente del resultado de la medición $m$.

En palabras, un solo término de la suma anterior representa observar un resultado de medición $m$ cuando el estado medido era $| m + b \rangle$ (una clasificación errónea si $b \neq 0$), y cuando el estado de salida en el registro de medición es $| m + a \rangle$ (el estado “incorrecto” cuando $a \neq 0$). El mapa $\Lambda_{a,b}$ codifica simultáneamente la acción sobre los qubits no medidos (condicionada al comportamiento de la medición) y la probabilidad del comportamiento de medición específico (a través de la normalización).

Ten en cuenta que aquí no nos interesan los detalles de la estrategia de twirling: basta con que exista una estrategia que ponga el canal en la forma anterior. Existen estrategias de twirling “más finas” que pueden restringir aún más la forma de los canales de Pauli [7]; sin embargo, tomamos la forma anterior como la representación matemática más general considerada.

En el Lema 1 de [5], se demuestra que $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ puede reescribirse como:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

para ciertos números reales $\lambda_{x,y}^Q$, que se denominan las fidelidades del instrumento.

Agregar el reinicio a este panorama es relativamente sencillo. Una operación de reinicio ruidosa sobre los qubits $R \subset [K]$ puede modelarse según la descomposición:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

La forma anterior utiliza explícitamente el supuesto de que el reinicio se realiza a lo largo del eje $Z$ para cada qubit. El ruido de la operación se codifica en las fidelidades de reinicio $\lambda_r$, que simplemente están indexadas por subconjuntos de qubits.

Un análogo de la Ecuación (1) que incluya una operación de reinicio al final se obtiene simplemente componiéndola con la Ecuación (2). Esta composición, tras algunas simplificaciones, produce:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Esta descomposición indica que el número de fidelidades $\lambda^Q_{x, y}$ es

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Consideremos casos límite: (1) Sin medición ni reinicio, $M = R = \emptyset$, y la expresión da $4^K$, el número de operadores de Pauli sin fase sobre $K$ qubits. (2) Para $M = \emptyset$ y $R=[K]$, resulta $2^K$, que es el número de subconjuntos de $[K]$. Por último, (3) para $M = [K]$ y $R = \emptyset$, resulta $4^K$. Ten en cuenta que esto puede parecer sorprendente al principio: en el aprendizaje estándar, se suele considerar que la medición y el reinicio tienen el mismo número de fidelidades: $2^K$. Sin embargo, aquí la puerta de medición total en este contexto se entiende no como una medición terminal, sino como una MCM, y por ello también se incluyen las fidelidades correspondientes a salidas de la medición distintas de la identidad (como $y \neq 0$ en la Ecuación (3)).

Finalmente, es importante señalar que cualquier estrategia de twirling que produzca la forma de la Ecuación (1) en el caso sin reinicio se aplica igualmente bien al caso de reinicio no trivial con una modificación sencilla. El problema potencial es que dicha estrategia puede requerir operaciones sobre qubits medidos después de la medición. Por lo tanto, si un qubit se mide y se reinicia, implementar la estrategia parece requerir insertar operaciones dentro de la puerta entre la medición y el reinicio. Sin embargo, dada la naturaleza del reinicio, tales operaciones no tienen efecto y pueden omitirse sin más, obteniendo la misma estructura deseada.

3. Formalismo de caminos

Como se describió en la introducción, todos los algoritmos de aprendizaje de ruido de tipo Pauli sobre puertas Clifford se basan en seguir cómo evolucionan los Paulis individuales a través de un circuito, acumulando factores de fidelidad de ruido por el camino. Por lo tanto, los valores esperados de un circuito compuesto por tales puertas se relacionan simplemente con productos de las fidelidades subyacentes de las puertas individuales, y de este modo los parámetros del modelo pueden inferirse invirtiendo la correspondencia dispersa entre parámetros y fidelidades que se esté suponiendo.

En [1], en el contexto de conjuntos de puertas unitarias, esto se formaliza en el Pattern Transfer Graph (PTG): un grafo dirigido que describe todos los experimentos posibles formados por elementos del conjunto de puertas y capas de puertas Clifford de un solo qubit (que se suponen operaciones perfectas o “gratuitas”). Esto se generalizó en [5] para incluir conjuntos de puertas con mediciones a mitad de circuito. En ambos casos, cada experimento se describe siguiendo un único operador de Pauli a través del circuito, bajo el supuesto de que se calcula un observable particular en cada punto de medición. Aquí no repasamos directamente las construcciones del grafo ni de los caminos; sin embargo, presentamos los hechos necesarios para justificarlas dentro de nuestra propia notación y con reinicios incluidos.

Aunque seguir un único operador de Pauli a través del circuito puede ser intuitivo en el caso de conjuntos de puertas unitarias, no es tan obvio que se cumpla en el caso más general Clifford-MCM-reset, debido a la naturaleza no determinista de la medición. La siguiente proposición recupera este panorama incluso en el caso más general [5]:

Proposición 1

Para cualquier $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ y $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, se cumple que:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

En otras palabras, si calculamos el valor esperado $Z^{x + y|_M}$ sobre el registro clásico producido por la MCM, entonces la evolución de un observable en la “imagen de Heisenberg” a través de la puerta Clifford-MCM-reset transforma $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Este hecho por sí solo permite recuperar un análisis similar al del PTG más allá del caso de conjuntos de puertas unitarias: con un posprocesamiento particular de los resultados de medición, incluso las puertas con mediciones y reinicios pueden verse como una transformación determinista de un operador de Pauli en otro.

Antes de demostrar esto, escribimos la Ecuación (3) de una forma más sugerente. Ten en cuenta que para $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$, se cumple que $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, y por tanto (en notación de superoperadores) tenemos:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

donde hemos aplicado la Ecuación (3) y agrupado términos, y usamos el subíndice $M$ para indicar el registro clásico del resultado de la medición, que tratamos arriba con una notación similar a la de los registros cuánticos.

Demostración. Se cumple que:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Por último, observa que $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, y por lo tanto el último término anterior se reduce al único término $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, lo que da el resultado deseado.

Consulta [5] para el desarrollo posterior: la definición del PTG, los caminos a través del PTG y la demostración de que cualquier camino correctamente definido corresponde a un experimento.

Referencias

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.